Gömülü şeritler ve normal izotopi

Question

Düzenli izotopi olarak bilinen, yalnızca Reidemeister Tip II ve III hareketleriyle izotopik olan düğümler hakkında Kauffman'ın 1990 tarihli "Düzenli İzotopinin Değişmezi" adlı makalesini okuyorum. Makalesi, normal izotopi ile gömülü bantlar arasında bir ilişki olduğunu iddia ediyor ($S^1 \times [0,1]$) içinde $S^3$. Burde'nin Knots ders kitabına atıfta bulunuyor, ancak normal izotopiden söz bulamıyorum, çünkü Kauffman, Burde'nin metni yazıldıktan sonra bu ifadeyi kağıda yazdı.

Normal bir düğüm izotopisinin gömülü bir banda karşılık geldiğini düşünüyorum. Ancak, gözden kaçırdığım bir patoloji olabileceğinden endişeleniyorum. İlişkinin kesin bir açıklaması olan var mı?

Answer 1

Herhangi bir düğüm diyagramından, "karatahta çerçevelemesi" alınarak çerçeveli bir düğüm elde edilebilir. Düğüm diyagramlarının normal izotopisinin amacı, bu karatahta çerçevesini korumasıdır. Çerçeveli düğümler ve gömülü bantlar aynı şey olduğundan, normal izotopi, düğüm diyagramının kara tahta çerçevesine karşılık gelen gömülü bandı da koruyacaktır.

Bunun Burde'de belki çerçeveli düğümler açısından daha ayrıntılı olarak tartışıldığını varsayıyorum. Ayrıca, Jones polinomunun / Chern-Simons TQFT'nin keşfinden sonra insanların onlarla daha fazla ilgilenmeye başladığını düşündüğümden, Burde'nin çerçeveli düğümleri hiç tartışmaması da mümkündür. Ve katılıyorum: Sanırım Kauffman "düzenli izotopi" terimini icat etti, bu yüzden muhtemelen Burde'da kullanılmıyor.

Answer 2

Bu bir cevaptan çok bir yorumdur, ancak umarım yardımcı olur. Düzenli homotopi hakkında çok daha eski ve daha iyi çalışılmış bir kavram var . İzin Vermek$X$ ve $Y$ pürüzsüz manifoldlar olsun ve $f,g\colon X \rightarrow Y$daldırın. Sonra$f$ ve $g$ daldırma yoluyla homotopik ise düzenli olarak homotopiktir.

Düzenli homotopi daldırma sınıflarına odaklanalım $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Böyle bir daldırma, üst / alt geçişleri unutarak düğüm diyagramından elde ettiğiniz şeydir. Bunu görmek zor değil$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ düzenli olarak enine öz-kesişimleri olan homotopik daldırmalardır, o zaman $f$ dönüştürülebilir $g$Reidemeister II / III hareketlerinin bariz analoglarının bir dizisi ile. Bununla birlikte, hareket ettiğim bir Reidemeister'in bir analogunu gerçekleştiremezsiniz çünkü döngüyü sıkıca çektiğiniz anda türevin kaybolması gerekir, bu yüzden bu normal bir homotopi değildir.

Tahminimce Kauffman'ın düşündüğü buydu. Bu arada, düzenli homotopi daldırma sınıfları$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$tamamen sınıflandırılabilir. Böyle bir daldırmanın türevini alarak ve türevin birim uzunluğa sahip olmasını sağlamak için yeniden ölçeklendirmeyi alarak, ilişkili bir harita elde edersiniz.$S^1 \rightarrow S^1$. Bu haritanın derecesine daldırma derecesi denir ve Whitney-Graustein teoremi , bu derecenin tam bir değişmez olduğunu söyler. Bu teorem, özel daldırma durumları için Hirsch-Smale daldırma teoreminin erken bir öncüsüdür.$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ Smale'nin küreyi içten dışa çeviren ünlü "küre eversiyonlarını" içerir.

Answer 3

Düzlemde bir diyagram çizilir. Düğümlerle sınırlayın (bağlantılarla değil). Eğriyi yönlendirin ve bir Sağ el kuralı aracılığıyla her bir (+/-) kesişme ile ilişkilendirin: pembemsi oryantasyon kıvrımını + alt kesişme yönüne doğru işaret eden üst geçiş boyunca avuç içi. Başparmak yukarı = + işareti. Tüm geçişleri toplayın. Bu kıvranma. Writhe, düğümün bir itme ile kendi kendine bağlanmasını belirler. \ İnfty +, \ infty- ve 0 çizin. \ İnfty +, yay üstü olarak + eğimli yaya sahiptir. Düzlemde bir itme eğrisi çizin ve <- zor hesaplama bağlantı numarasını hesaplayın, en iyi şekilde Hopf bağlantısı oluşturmak için RI hareketleri kullanılarak yapılır. Düğüm ve itme bir halkayı bağladı. Düğümün kendi kendine bağlanan # numarası 0 ise, halka bir Seifert yüzeyine uzanır. İtme, tercih edilen bir boylamı tanımlar. Ancak genel olarak, kara tahta çerçeveli eğri kendi kendine bağlanma = kıvranmaya sahiptir. Bir \ alpha - \ gamma eğrisi ile bunu 4 şekilde çizebilirsiniz. 2'de 0 kıvranma var, 1'de +2, diğerinde -2 var. 0 buruşuk olanlar düzenli olarak bilinmeyenlere homotopiktir. Diğer ikisi tip I hareketleri gerektirir. Kauffman'da bir yerde bir Whitney numarası göreceksiniz. Alfa-gama eğrisinde dışa doğru 1 bükülme ve içe doğru 1 bükülme var. Alfa-alfa eğrileri ve gama-gama eğrileri vardır: sırasıyla iki çıkış veya iki. Her iki durumda da kıvırıcı bir telefon kablosu gibi düzenlenebilir veya iptal edilebilir. İptal davaları aldatıcıdır. Diaglar S ^ 2'de, gama gamma durumunda sınırlanmış bigon dışarıdadır. Bu nedenle çerçeveli izotopiyi R ^ 3 yerine S ^ 3'te gerçekleştirmeniz gerekir. [! [0 ve - / + sonsuz eğrileri