Gösteriliyor $(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Question

İzin Vermek $K = \mathbb{C}[[h]]$ karmaşık alanın biçimsel kuvvet serisinin cebiri olsun ve $K_n = \frac{\mathbb{C}[[h]]}{(h^n)}$. Aşağıdaki izomorfizmi anlamaya çalışıyorum:

$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Teşekkürler!

Answer 1

İddia her değişmeli cebir için geçerlidir $B$ değişmeli bir halka üzerinden $A$ ve $A$-modüller $M,N$. Bu, bu zincirden$B$-modül izomorfizmleri: \begin{align} (M\otimes_AB)\otimes_B(N\otimes_AB) &\xrightarrow\sim M\otimes_A(B\otimes_B(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim M\otimes_A(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim(M\otimes_AN)\otimes_AB\\ \end{align}