Güçsüz $L^p$ işaret fonksiyonunun parçalı doğrusal yaklaşımında limite geçmek için yakınsaklık?

Question

Düşünmek $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ hangi düzgünleştirilmiş bir versiyonu $\mathrm{sign}$ işlevi.

Farz et ki $u_n \to u$ zayıf bir şekilde $L^p([0,1])$ hepsi için $p \in [1,\infty]$ gibi $n \to \infty$. Bu doğru mu$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ bazılarında zayıf $L^p$?

Answer 1

Varsayalım $\epsilon \le 1$. Açık$[0,1]$, İzin Vermek $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ sol [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ sağ)$\\ 0 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ sağ)$. } $$ Sonra $u_n \rightharpoonup 2$ içinde $L^p([0,1])$ için $1 \le p < \infty$, fakat $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$.

Emin değilim $p = \infty$, ancak bu karşı örneğin işe yaradığından şüpheliyim.