Hangi değerler için $\alpha$ dır-dir { $z_n$} sınırlı bir sıra?

Question

Nerede $\alpha$ gerçek bir sabittir, sırayı düşünün {$z_n$} tarafından tanımlandı $z_n=\frac{1}{n^\alpha}$. Hangi değer için$\alpha$ dır-dir {$z_n$} sınırlı bir sıra?

Bu tür bir soruyla nasıl başlayabilirim? bence$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$ dizi yakınsak ve bu nedenle sınırlı, ama bunu nasıl yazacağım?

Answer 1

Eğer $\alpha=0$, $(z_n)$ sabittir, dolayısıyla sınırlıdır.

Eğer $\alpha>0$, $(z_n)$ 0'a yakınsar ve bu nedenle sınırlanır.

Eğer $\alpha<0$, $(z_n)$ farklılaşır $+\infty$ ve bu nedenle sınırsızdır.

Answer 2

Yorumda belirttiğim gibi, doğru cevaba sahipsiniz. Geriye kalan tek görev, cevabın resmi bir açıklamasını yapmaktır. Bir cevap yazmanın bir yolu şudur:

İlk olarak, fonksiyonun $f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$ tarafından tanımlandı $f(x) = x^{\beta}$ tatmin eder $$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$ Bu ifadeyi resmi olarak kanıtlamanıza gerek olmadığından şüpheleniyorum: büyük olasılıkla ders kitabında atıfta bulunabileceğiniz bir ifade vardır.

Bununla birlikte, sorunu $3$ durumlarda: bu durumda $\alpha < 0$, yukarıdaki gerçeği kullanarak şu sonuca varın: $\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$, bu da dizinin sınırlı olmadığı anlamına gelir. Bu durumda$\alpha = 0$, şu sonuca varmak $z_n \to 0$, bu, dizinin yakınsak ve dolayısıyla sınırlı olduğu anlamına gelir. Benzer şekilde, if$\alpha > 0$, şu sonuca varmak $z_n \to 0$Bu, dizinin yakınsak ve dolayısıyla sınırlı olduğu anlamına gelir.

Böylece, dizinin sınırlı olduğu sonucuna varıyoruz, ancak ve ancak $\alpha \geq 0$.