Haritalamanın zaman türevi $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - sonsuz küçük jeneratör

Question

Lütfen denklemi açıklayabilir mi? $1$ bunda https://math.stackexchange.com/a/697412/767953daha basit bir biçimde mi? Ayrıca denklemden nasıl olduğunu anlayamıyorum$1$ bunu görebiliriz $u$ ısı denkleminin çözümüdür.

Answer 1

İpucu

\ begin {hizala} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ ila 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ sağ) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x). \ end {align} Her eşitliği bir ev ödevi olarak gerekçelendirmenize izin veriyorum. Diğer sorunuz için, Brownian hareketinin sonsuz küçük üretecinin,$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ Bu sizin için net değilse, ev ödevi olarak yapın.