Her zaman bir işlev var mı $ f $ hangisi için $ Y - f ( X ) $ ve $ X $ bağımsız mı?

Question

İzin Vermek $ X $ ve $ Y $ gerçek rastgele değişkenler olabilir.

Her zaman bir işlev var mı $ f $ hangisi için $ Y - f ( X ) $ ve $ X $ bağımsız mı?

İfadeyi kanıtlamaya çalıştım ama yapamadım.

İfade yanlışsa, rastgele değişkenler bulunmalıdır $ X $ ve $ Y $ öyle ki herhangi bir işlev için $ f $, $ Y - f ( X ) $ ve $ X $Var değil bağımsız.

Ama aynı zamanda böyle bir çift rastgele değişken bulamadım $ X $ ve $ Y $.

Herhangi bir tavsiye veya ipucu için minnettar olurum!

Answer 1

Hayır, ama var $f(X)$ ilişkisiz olmaları için.

İki değişken $X$ ve $Y$ bağımsızdır, eğer olasılık dağılımı $Y|X$ bağlı değil $X$. Düşünmek$Y|X \sim N(0, X^{2})$, sonra $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ hala bağlı olan $X$ herhangi bir işlev için $f$.

Eğer tanımlarsak $E[f(X)]$ Böylece $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$, sonra $Cov(Y-f(X), X) = 0$. Örneğin, izin ver$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ doğrusal ol.

Answer 2

İzin Vermek $\Omega = \{a,b,c\}$ her biri olasılığa sahip üç sonuç içeren bir olasılık uzayı olmak $1/3$. İzin Vermek$X = 1_{\{a\}}$ ve $Y = 1_{\{b\}}$. Bunu kontrol edebilirsiniz eğer$A,B$bu uzaydaki bağımsız olaylardır, bu durumda bunlardan birinin olasılığı 0 veya 1 olmalıdır; sonuç olarak herhangi bir rastgele değişken bağımsız$X$sabit olmalıdır. Fakat$Y-f(X)$ asla sabit olamaz, çünkü mutlaka farklı değerler alacaktır $b$ ve $c$.