Herhangi bir garip asal için göster $p\geq 5,$ $(-3/p)=1$ veya $ -1$ [çiftleme]

Aug 17 2020

Herhangi bir garip asal için göster $$p\geq 5,$$ $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 1,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv -1,5\pmod{12} \end{cases}$$

Şimdiye kadar buna sahibim

(1) Bırak $$p\equiv 1\pmod{4}$$ sonra $$p\equiv 1\pmod{3}$$ almak $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{1}{3} \right )=-1$$

(2) Bırak $$p\equiv 1\pmod{4}$$ sonra $$p\equiv 2\pmod{3}$$ almak $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{2}{3} \right )=1$$

(3) Bırak $$p\equiv 3\pmod{4}$$ sonra $$p\equiv 1\pmod{3}$$ almak $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{1}{3} \right )=1$$

(4) Bırak $$p\equiv 3\pmod{4}$$ sonra $$p\equiv 2\pmod{3}$$ almak $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=-1$$

CRT sistemlerini çözdükten sonra, $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 5,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv 1,-1\pmod{12} \end{cases}.$$

Bu yüzden nereye battığımdan emin değilim. Herhangi bir yardım memnuniyetle karşılanacaktır.

Yanıtlar

2 J.W.Tanner Aug 18 2020 at 04:57

Bazı hesaplamaları mahvettin. Ne zaman$p\equiv1\pmod4$, $\left(\dfrac{-3}p\right)=\left(\dfrac{-1}p\right)\left(\dfrac{3}p\right)=1\left(\dfrac p3\right)$,

yani bu durumlarda $\left(\dfrac{-3}p\right)=1$ ne zaman $p\equiv1\pmod3$ ve $\left(\dfrac{-3}p\right)=-1$ ne zaman $p\equiv2\pmod3$ .