Hermitian operatörün operatör normu

Question

Sadri Hassani'de bahsedilen şu sonucu ispatlamak istiyorum: -

İlk eşitsizlik, yani $|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$bir operatör normunun tanımından anlaşılırdır. Ters eşitsizlik için yazar aşağıdaki prosedürden bahsetmiştir.

Yukarıdaki sonucu kullanarak eşitsizliği nasıl elde ettiklerini anlayamıyorum. Ayrıca, sonucun şu olduğunu düşünüyorum:$4\langle Hx|y\rangle $ olmalı $-i$ onun yerine $i$ eşitlik içinde.

Answer 1

İçin verilen seçeneklerle $x$ ve $y$sende var $\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$, böylece eşitlik azalır $$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$ Ayrıca, $\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$. Ardından paralelkenar kimliğini kullanarak,\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}