Homoloji ve homotopi arasındaki bağlantı hakkında

Aug 18 2020

Son dönem homolojik cebir ve daha yüksek kategori teorisi / homotopi teorisini öğrendim.

Ancak iki konu arasındaki bağı gerçekten anlamaya çalıştığımda kafam karıştı (bu gerçekten benim rahat bölgem değil ...)

Bu nedenle, homolojik cebir ve homotopi teorisi üzerine bir metin (bir tür kendi kendine egzersiz) yazmaya çalışıyorum ama gerçekten $0$ iki konu.

Homolojik cebirde aşağıdaki kavramları tanıtmak istiyorum:

  1. zincir kompleksi

1$\frac{1}{2}$. Grothendieck grubu

  1. bir kompleksin homotopi

  2. türetilmiş kategori

  3. t yapıları

Ayrıca homotopi teorisinde aşağıdaki kavramları tanıtmak istiyorum:

  1. Model kategorileri

  2. Bir model kategorisinin homotopi kategorisi

  3. Model kategorilerinin belirlenmesinde türetme

  4. Yarı kategoriler

4.5. bir kategorideki basit nesne ve bu bağlamda homotopi

  1. Dold-Kan denkliği

Şimdi "zor" kısım başlıyor:

Bu kavramları iyi bir şekilde nasıl organize edebilirim? 1-3 için (homoloji / homotopide) bunu nasıl yapacağımı bildiğimi düşünüyorum ama özellikle homotopide 3-5 için hiçbir fikrim yok ...

Bu sorularıma yol açar:

  1. Sonsuzluk kategorileri veya daha genel olarak homotopi teorisi / daha yüksek kategori teorisi, ancak homolojik bir bakış açısıyla nasıl motive edilir. Bir yerde belki iyi bir fikir okudum:

Değişmeli bir kategori için $\mathcal{A}$türetilmiş kategori $\mathcal{D(A)}$ evrensel bir özellik tarafından tanımlanmamıştır.

Bir yerlerde yüksek kategori teorisinin bir anlamda sorunu çözdüğünü okudum. Peki ama neden? Ve yarı kategorilere ihtiyacımız var mı, yoksa model kategorileri bunu yapmak için yeterli mi?

  1. Birinin bu metni düzenlemek için bir fikri varsa, herhangi bir öneriye açıyorum.

Birisi bana bu kendi kendine egzersizi yapmam için bazı ipuçları verebilirse minnettar olacağım.

Yanıtlar

1 DavidWhite Aug 22 2020 at 21:47

OP'yi sıfırdan bir şeyler yazmaya çalışmadan önce başkalarının bu konudaki yazılarını okumaya teşvik ediyorum. OSU'da Aaron Mazel-Gee'nin motive ettiği derslere katıldım$\infty$- Soru 1'de OP'nin önerdiği gibi kategoriler. Bu derslerden bazı fikirler şimdi burada ortaya çıkmış gibi görünüyor .

Soru 2'ye gelince, Weibel'in Homological Algebra'ya Giriş adlı kitabı ilk konu koleksiyonunda harika bir iş çıkarıyor, ardından Hovey'in kitabı (veya Dwyer-Spalinski ) ikinci koleksiyondaki ilk üç öğeyi veriyor ve Lurie'nin kitapları size isteyebileceğiniz her şeyi veriyor yarı kategoriler ve bunların model kategorileri ve homolojik cebirle bağlantıları hakkında (cidden, her bölüm için yazdığı girişler olağanüstü). Dold-Kan yazışmalarına gelince, Lurie'nin yazılarında bir yerlerde göründüğünden eminim, her yerde okuduğum en net açıklama Akhil Mathew'a ait.

Arthur'a katılıyorum, daha kategorik olarak düşünürseniz, sıralamayı tersine çevirebilirsiniz (örneğin, basit setlerden haberdar olsaydınız Lurie'den başlayarak). Kendim için, somut bir şeyle başlamayı ve ardından soyutlamayı, bu sıralamadan da anlaşılacağı gibi, yavaş yavaş bunun üzerine inşa etmeyi tercih ederim. Weibel'in kitabı gerçekten de buradan üçgenlere ayrılmış kategorilere, model kategorilerine ve yarı kategorilere adım atmayı kolaylaştıracak şekilde yazılmıştır. Ama cebirciler için çok erişilebilir bir yerde başlıyor.

1 ArthurPanderMaat Aug 22 2020 at 00:54

Önce ikinci sorunuzu cevaplayacağım. Bir dereceye kadar, seçtiğiniz sıralama büyük ölçüde örneklerle mi yoksa tam soyutlamayla mı yönlendirmek istediğinize bağlı olacaktır. Örnek olarak, projektif kararları ve türetilmiş kategoriyi yalnızca aşağıdakilerle ilgili gerçekleri kullanarak tanıtabilirsiniz:$\text{Ch}(\mathcal{A})$ ve Ore'un kesirler hesabı (böyle bir işlem için Weibel'in kitabına bakın) veya model kategorileri tanıtabilir, özelliklerini kanıtlayabilir, $\text{Ch}(\mathcal{A})$küçük bir nesne argümanı kullanarak projektif bir model yapısını kabul eder (argümanın ana hatları için bu nLab sayfasına bakın ) ve böylece bir homotopi kategorisi olarak türetilmiş kategorinin bir açıklamasına ulaşır.

Şahsen ben, ikinci hesabın gereksiz yere kıvrılmış olacağını düşünüyorum ve ilk önce bazı homolojik cebirleri tanıtmanın daha mantıklı olacağını düşünüyorum, çünkü bu şekilde projektif model yapısını bir model yapısının bir örneği olarak, projektif çözünürlüğü bir örnek olarak tanıtabilirsiniz. kofibrant çözünürlüğü, homotopi kategorisinin bir örneği olarak türetilmiş kategori vb. Bu kavramların birkaç örnek olmadan bir sezgi edinmesi zor olabilir! Ancak her iki sipariş de sizin için mevcuttur.

Model kategorileri ve yarı kategoriler sorusu üzerine: model kategorileri, alt kategoriler için "sunumlar" olarak görülebilir ( bu perspektif için bu nLab sayfasına ve teori geliştirmesi için Lurie'nin Yüksek Topos Teorisinin Ek A.2 ve A.3'lerine bakın) bu açık hedefe sahip model kategorileri). Kuasik kategorilerin model kategorilerine göre birçok avantajı vardır: örneğin, herhangi bir ikinci kategoriden diğerine bir işlevci yarı kategorisi vardır, oysa benzer ifade model kategorileri için geçerli değildir. Model yapıları, yarı kategorilerle ilgili temel kanıtların çoğunda büyük ölçüde yer almaktadır, bu nedenle bu konuları sıralamanın iki yolu yoktur.

İlk sorunuza göre: şahsen homolojik cebirin, model kategorilerini veya sonsuz kategorilerini tanıtmak için yeterli motivasyon olduğuna inanmıyorum. Yorumlarda belirtildiği gibi, üçgenleştirilmiş kategori$\mathcal{D}(\mathcal{A})$işlevsel konilere izin vermez ve bu bazı uygulamalarda can sıkıcıdır, ancak insanlar genellikle dg- ve quasicategories hakkında konuşmaya başlamadan önce onlarca yıldır homolojik cebir uygulamakla iyi geçinirler. Bence metniniz için daha güçlü bir sıra, homolojik cebirden temel kavramları tanıtmak, ardından model kategorileri ve son olarak da yarı kategoriler hakkında konuşmaya başladığınızda bunları örnek olarak kullanmak olacaktır.

Evrensel mülkiyet sorusu üzerine $\mathcal{D}(\mathcal{A})$sonsuz kategorilerini kullanarak, Lurie'nin Yüksek Cebiri bölüm 1.3.3'ü faydalı bulabilirsiniz. Ancak şunu unutmayın:$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ kesinlikle sıradan 1-kategorik dilde evrensel bir özelliğe sahiptir: $\text{Ch}(\mathcal{A})$ yarı-izomorfizmlerde.