İki düzlemin kesişimi arasında bir nokta bulmak

Question

İki düzlemin kesişimi arasında bir doğru bulma alıştırmasını yaparken, doğrunun bir nokta ve yön vektörü bulmamız gerekir. Yön vektörü kolay, çünkü her iki normale de dik, ama noktayı nasıl alacağım konusunda biraz kafam karıştı.

Diyelim ki, bize iki düzlemin denklemi verilsin,

$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$

Ve,

$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$

Kesişme çizgisi boyunca bir nokta bulmak için, genellikle koordinatlardan birini sıfır olarak koyma talimatı verilir, örneğin $x, y$ veya $z$ve sonra kalan koordinatları çözün. Ama bunu neden yaptığımızdan emin değilim, olduğu gibi, iki doğrunun kesişimi arasındaki çizginin her zaman olması gerektiğini nasıl bileceğiz$x$ , $y$ ve $z$ kesişir mi?

Gördüğüm bu yayını ama benim sorgu ele düşünmüyordu ve giderilmesidir ne bu bir

Answer 1

Farz et ki $\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$. Ardından sorunu aşağıdaki gibi yeniden biçimlendirebilirsiniz:

$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$ ve çöz $x$ ve $y$: $$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$ Bu, herhangi biri için $z=t\in{\Bbb R}$ benzersiz bir çözüm elde edersiniz $x$ ve $y$. Burada olan şey, iki uçağın kesişme noktasının$P_1,P_2$ uçakla $z-t=0$ iki paralel olmayan çizgi sağlar (sıfır olmayan AB determinantı nedeniyle) $x-y$uçak. Bu nedenle bu iki çizginin benzersiz bir kesişme noktası vardır.

Şimdi, yukarıdaki AB determinantınız sıfır olduğunda (yani, $x-y$ düzlem paraleldir) o zaman sıfır olmayan bir $B-C$ matris (ve çöz $y,z$) veya sıfır olmayan $C-A$ matris (ve çöz $z,x$). Tüm bu belirleyiciler sıfırsa, iki orijinal düzleminiz aslında paraleldir, bu nedenle ya kesişme boştur ya da bir düzlemdir.

Hesapladığınız üç belirleyicinin aslında düzlemler için normal vektörlerin çapraz çarpımının bileşeni olduğuna dikkat edin, bu nedenle çapraz çarpımın yok olmaması, kesişimin bir doğru olması için bir koşuldur.

Answer 2

Bu tür sorular, herhangi birini varsayarak çözülebilir. $(x,y,z)$sıfır olmak veya birini sabit tutmak. Bunlardan birini sıfır tutmanın arkasındaki önsezi, çoğu zaman elde ettiğimiz çizgilerin bir düzleme paralel olmadığı bu yüzden kesinlikle kesişmeleri gerektiğidir.

Böyle bir durum olmadığında, değişkeni sıfır tutmak tutarsız doğrusal denklem çiftleri ortaya çıkarır.