İle fonksiyon ailesi $f(0) = 0$ ve $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ normaldir
Aşağıdaki sorum var
İzin Vermek $B$ işlevler kümesi olmak $f$, birim diskte analitik olan $\mathbb{D}$ ve ikisini de tatmin et $f(0) = 0$ ve $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$. Kanıtla$B$ normal bir ailedir.
Cevabımın emin olmadığım birkaç kısmı var.
Çevrilen aileyi düşünün $g(z) = f(z) - 1$ değerleri alır $\mathbb{C} - [0,1]$. Dan beri$g(\mathbb{D})$ basitçe bağlantılıdır ve sıfırdan farklıdır, tek değerli analitik dallar tanımlayabiliriz $\sqrt{g(z)}$ içinde $g(\mathbb{D})$. Bir karekök aldığımızda, tüm değerleri$\sqrt{g(z)}$yarım düzlemleri ayıran çizginin orijini içerdiği yarım düzlemde yer alır. Ardından, olası bir rotasyondan sonra şunu varsayabiliriz:$\sqrt{g(\mathbb{D}})$sol yarı düzlemde yer alır. Şimdi bu cevapta kullanılan teknikleri uygulayabilirim$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ ile $Re f>0$ ve $f(0)=1$normal bir aile olduğunu göstermek için bu tercüme ailesi (dolayısıyla$B$) normal bir ailedir.
Emin olmadığım bir şey, tüm değerlerin $\sqrt{g(z)}$yarım düzlemleri ayıran çizginin orijini içerdiği yarım düzlemde yer alır. Bu doğru görünüyor, ama emin değilim. Ayrıca, gerçeğin tüm gücünü kullanmıyorum$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ sadece gerçekten ihtiyacım olduğu gibi $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$.
Herhangi bir yorum veya öneri çok takdir edilecektir.
Yanıtlar
Fikriniz pek işe yaramıyor ve dejenere olmayan bir aralığın aralık dışında bırakıldığı varsayımını kullanmadığınız için bir uyarı işareti olarak hizmet etmesi gerekir (ama elbette bu, argümanın işe yaramayacağının bir kanıtı değildir) ).
Görmek için $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ ailenin normalliği anlamına gelmez işlevleri dikkate alın $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ için $k \in \mathbb{N}$. Sahibiz$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ hepsi için $k$, ve $f_k(0) = 1 - 1 = 0$. Fakat$f_k(z)$ yerel olarak tekdüze olarak birleşir $\infty$ sağ yarı düzlemdedir ve yerel olarak tekdüze olarak $1$sol yarı düzlemde. Dizi, sanal eksenin herhangi bir noktasında yerel olarak tekdüze yakınsamıyor.
Argümanınızdaki ilk hata, $g(\mathbb{D})$basitçe bağlantılıdır. Olmasına gerek yok, örneğin düşünün$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ nerede $g(\mathbb{D})$ etrafındaki küçük bir diskin tamamlayıcısıdır (düzlemde) $0$. Basit bağlantılılık$\mathbb{D}$ holomorfik bir karekök varlığını garanti eder $\sqrt{g(z)}$, ancak bunun görüntüsü hala tümü olabilir $\mathbb{C}\setminus \{0\}$.
Ancak, bir yarım düzlem çalışmasında yer alan görüntüye sahip bir holomorfik işlev ailesi elde etmek için karekökü kullanma temel fikri, sadece biraz farklı yapılması gerekiyor.
Möbius dönüşümünü düşünün $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ Bu, kapalı aralığı eşler $[1,2]$ -e $[-\infty, 0]$, ve $T(0) = 1$.
Bunu kullanarak aileyi düşünebiliriz $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ karekökün ana dalının kullanıldığı yer.
Şimdi, $\tilde{B}$bağlantılı soruda ele alınan ailedir, dolayısıyla normal bir aile olduğunu biliyoruz. Daha sonra normallik sonucunu çıkarmaya devam eder$B$Bundan. (Eğer$(h_k)$ yerel olarak tekbiçimli yakınsak bir dizidir, bu durumda $(F\circ h_k)$ aynı zamanda hafif koşullar altında yerel olarak homojen yakınsaktır. $F$.)