İlk sonsuz sıranın durumu $\omega$ standart dışı analiz içinde?
Pandemi sırasında yeni keşfedilen boş zamanlarla, standart dışı analizler üzerinde çalışıyorum. Ultrafiltrelerden pek hoşlanmadım, bu yüzden Nelson'ın iç küme teorisine ve Hrbacek küme teorisine yöneldim. İkincisini tercih etmeme rağmen, Nelson'ın çalışmasıyla ilgili daha fazla deneyime sahibim, bu yüzden işleri BTT açısından ifade edeceğim.
Küme teorisinde sıra sayıları hakkında temel bilgiye sahibim. $\omega$İlk mi. Setin IST'ye nerede uyduğunu bilmek istiyorum. Bu sadece standart bir hiper sonlu sayı mı? Sezgisel olarak, gerçeği$\omega > n$ her doğal sayı için $n$, bunu varsaymama neden oldu $\omega$ üyesi olabilir ${}^*\mathbb{N}$, çünkü bu doğal sayıların tanımlayıcı özelliği budur. Önerme 2.1'de aşağıdakileri kanıtlayan standart hiper sonlu tam sayılardan bahseden bir makale ( Taras Kudryk ve diğerleri, 2004 ) buldum :
Orada bir $\mathbf{standard}$ R-sonsuz [yani ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$] hiper doğal sayı.
Anladığım kadarıyla, standart koşula referans olmaksızın ZFC'de benzersiz şekilde tanımlanan her küme standarttır. Bu nedenle, ilk sonsuz sıra$\omega$standart bir settir. Bununla, bunu kanıtlamayı umuyordum$\omega\in{}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$. Bununla birlikte, aynı zamanda, en azından hiperfinite doğal sayı olmadığını da hatırlıyorum. Bu gerçeğiyle çelişiyor gibi görünüyor$\omega$ en küçük sıra sayısıdır.
Bu noktada, küme teorisi ile ilgili deneyim eksikliğim muhtemelen gösteriyor. Aralarındaki farkları tartışan sorulara bakmak$\omega$ ve $\mathbb{N}$Burada kafamın üzerinde olabileceğimi fark etmemi sağlıyor. Küme teorisi ve standart dışı uzantıları hakkında daha fazla deneyime sahip olanlardan biraz açıklama alabilir miyim? Nerede yapar$\omega$ (ve gerçekten genel olarak sıra sayıları) IST'ye uyuyor mu?
Yanıtlar
En küçük transfinite von Neumann ordinal $\omega$ ve unsurları ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$tamamen farklı türde nesnelerdir. Sormak "yapar$\omega$ sete ait ${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$? "çok mantıklı değil, aynı şekilde soruyor" grup $S_3$ seti içer $\mathbb{R}$ bir unsur olarak? "pek bir anlam ifade etmiyor.
İkinci sorunun cevabının teknik olarak evet olduğu bir durum ayarlayabilirim. Örneğin grubu tanımlayarak$S_3$ temel kümeye sahip grup olarak $S_3 = \{A,B,C,D,E,\mathbb{R}\}$ ve çarpım tablosu ile
S_3 ℝ A B C D E
--+------------------------
ℝ | ℝ A B C D E
A | A B ℝ D E C
B | B ℝ A E C D
C | C E D ℝ B A
D | D C E A ℝ B
E | E D C B A ℝ
sadece buna sahip değiliz $\mathbb{R} \in S_3$ama aynı zamanda $\mathbb{R}$ kimlik unsurudur $S_3$. Bu elbette anlamsız bir tekniktir ve grup arasındaki matematiksel bir ilişki ile karıştırılmamalıdır.$S_3$ ve gerçek sayılar $\mathbb{R}$.
Uzantı yapınıza bağlı olarak ${}^*\mathbb{N}$, benzer şekilde yapmak için düzenleyebilirsiniz $\omega \in {}^*\mathbb{N} \setminus \mathbb{N}$ tutun, ancak bu size sıra sayıları hakkında hiçbir şey öğretmez: örneğin $\mathbb{R} \in {}^*\mathbb{N}$ tamamen aynı şekilde.
Bununla birlikte, sıralı dizinin doğal matematiksel bir yolu var mı? $\omega$bazı sabit standart olmayan doğal sayılara karşılık gelir mi? Bu sorunun cevabı hayırdır ve "sabit standart olmayan doğal sayı" yı "sabit standart eleman" ile değiştirsek bile "hayır" olarak kalır.${}^*\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}$ nerede ${}^*\mathbb{N}$ bazı standart hiperekstansiyonu gösterir $\mathbb{N}$"(aslında, her iki biçimcilikte de çok daha rahat hale gelene kadar bu karma IST ve Robinsonian NSA kavramlarından kaçınmanızı öneririm).
Aynı şey, "somut" standart olmayan sayılar elde etmekle ilgili örtük sorunuz için de geçerlidir: IST aksiyomlarını kullanarak herhangi bir somut standart olmayan sayıyı saptayamazsınız. Standart olmayan sayıları oluşturmanın tek yolu İdealleştirme yoluyladır (IST'den İdealleştirme aksiyomunu çıkarırsanız, bu tüm nesnelerin standart olduğu ortaya çıkan sistemle tutarlıdır) ve İdealleştirme ile her spesifikasyonun (esasen her olmayan izole 1-tip), modelin en az iki farklı elemanı tarafından gerçekleştirilmektedir.