İntegral alan ve alan arasındaki biçimlilik enjekte mi?

Question

Doğrusal cebirimin notlarında şu ifadeyi okudum: A integral alan ve K a alanı olsun. Sıfır olmayan herhangi bir halka morfizmi$\phi : A \to K$ enjekte edici.

Morfizmi göz önünde bulundurarak bu ifadenin yanlış olduğunu düşünüyorum $$\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z /2 \mathbb Z$$ $$n \to [n]$$ Bu, bir integral alan ile bir alan arasındaki bir morfizmdir, ancak açıkça enjekte edici değildir.

Yani ifade yanlış mı? Karşı örnekten oldukça eminim ama öğretmenimin notlarına her zaman karşı çıktığımda yanılmışım.

Answer 1

Haklısın İfadenin ne olması gerektiğine dair iki olasılık:

1. Herhangi bir morfizm $K \to A$ enjekte edici (çünkü çekirdek, $K$ ve tek idealler $(0)$ ve $(1) = K$). O kadar önemli değil$A$ bilmekten başka burada ayrılmaz bir alandır $A \neq 0$. Eğer$A$ -di $0$ sonra $K \to 0$ enjekte edici değildir.

2. Harita $A \to \operatorname{Frac}(A)$ enjekte edici.