Isı Metodu (Crane et al) Nasıl u seçeriz?
Isı yöntemi, mesafe hesaplaması için çok ilginç bir belgedir:
https://www.cs.cmu.edu/~kmcrane/Projects/HeatMethod/paperCACM.pdf
Kağıdın arkasındaki fikir, ısının bir nesnenin yüzeyi boyunca esasen jeodezik benzeri bir şekilde hareket etmesidir. Ve böylece ısının sıcak bir noktadan bir yüzey üzerindeki herhangi bir noktaya gitmesi için geçen süre, jeodezik mesafe ile uzlaşmaz bir şekilde ilişkilidir.
Makale önce genel, analitik durumu ele alıyor ve ardından ayrıklaştırma yaklaşımları öneriyor. Kafamın en çok karıştığı şey, ısı akışı fonksiyonundan bahsedilmesi.$u$kağıdın karşısında. Örneğin bu denklemi düşünün:
Bu, uygulanan ayrık laplasyan operatörüdür. $u$ veya $\Delta u$. Makalede bundan bahseden çok sayıda başka bölüm var$u$. Benim okumamdan$u$ Bir manifoldun yüzeyindeki ısı akışına yaklaşan uygun bir işlev gibi görünüyor mu?
Gerçekten formun bir denklemini görmüyorum $u = \text{expression}$ ne özelliklerinin açıklamalarını ne de bir mal için önerileri görmüyorum $u$işlevi. Nedir$u$? Nerede oldu$u$dan geliyorum? Nerede oldu$u$Git? Nerede oldu$u$dan geliyorum? cotan, ben, o?
Yanıtlar
Benim okumamdan, u bir manifoldun yüzeyindeki ısı akışına yaklaşan uygun bir fonksiyon gibi görünüyor?
$u$belirli bir alanda miktarınızın nasıl davrandığını / geliştiğini tanımlayan işlevdir. Kağıttaki miktar, sanırım sıcaklık veya ısı akışıdır. Bununla birlikte, çoğu zaman için analitik bir çözüm / formül yoktur.$u$. Sonlu Elemanlar (FEM) gibi yöntemler burada devreye girer. Alanınızı ayrıklaştırarak, işlevinizi parçalı olarak yaklaşık olarak tahmin edebilirsiniz.$u$.
Sizin durumunuzda, zaten yüzeyinizin ayrıklaştırılması olan ağınızı kullanırsınız. Öğeleriniz üçgenlerdir ve düğüm miktarlarının her üçgenin içinde nasıl enterpolasyon yapıldığını tanımlamanız gerekir. --- Burada, doğrusal enterpolasyon muhtemelen gidilecek yoldur. Aksi takdirde, geometrinizi yeniden şekillendirmeniz veya daha yüksek dereceli yaklaşımlar için ek düğümler eklemeniz gerekir.
Daha sonra her Düğüme / Köşeye bir başlangıç değeri atamanız gerekir. $u_0$Gilgamec'in cevabında yazıldığı gibi. Daha sonra, sonlu eleman sisteminizi kurar ve çözersiniz ve düğüm dağılımını alırsınız.$u$bu aslında denkleminizi veya denklem sisteminizi çözer. Ağınız ne kadar ince olursa, çözüm o kadar iyi olur. Daha yüksek dereceli enterpolasyonlar da doğruluk konusunda yardımcı olacaktır.
Yani $u$veya onun düğüm değerleri, lightxbulb'un yorumunda söylediği gibi, aslında aradığınız şeydir. Bilinmeyen miktarın.
Bu işe yaramazsa, sonlu eleman yöntemi hakkında biraz literatür okumak isteyebilirsiniz. Aşağıdaki bağlantıların ne kadar yararlı olduğunu söyleyemem, ancak kısa bir bakış umut verici görünüyordu. Göreceksin, kullandıklarını$u$her yerde. Bu yüzden umarım içlerinden biri size yardımcı olur:
- Sonlu Elemanlar Metoduna nazik bir giriş
- PE281 Sonlu Elemanlar Yöntemi Ders Notları
- Sonlu eleman yöntemine giriş
- elle sonlu eleman analizi
Ayrıca, sağladığım son bağlantıya benzer, temelleri anlamamda bana çok yardımcı olan iyi bir çevrimiçi eğiticiye bir bağlantı da vardı. Bağlantıyı bulursam, cevabıma eklerim.
Bahsettiğim bağlantıyı buldum. Maalesef Almanca:
- FEM Handrechnung
Evet, alan $u$bu durumda yüzey boyunca yaklaşık bir ısı yayılımıdır. Köşelerin "ilk kümesi" ile başlayarak bulunur; bunlar difüzyonun kaynağı olacak ve mesafe alanında yerel minimumlar olarak son bulacaktır. İlk dağıtım$u_0$ilk kümede 1 ve diğer her yerde 0 değeriyle ayarlanmıştır. (Bu, bağladığınız makalenin 92. sayfasında, Algoritma 1'in hemen altında açıklanmıştır.)
Algoritmanın ilk adımı, doğrusal denklemi çözerek ısı denkleminin tek bir adımını çalıştırmaktır. $(I - t\nabla)u = u_0$(makaledeki denklem 3). Alan$u$ Uzaklık alanını elde etmek için daha fazla işlediğiniz yaklaşık ısı yayılımını elde edersiniz.