İşlev Sezgisi Oluşturma

Question

Oluşturma işlevlerinin kullanımını anlamaya çalışıyorum. Bir diziyi bir üretici fonksiyona sıkıştırabileceğimizi anladım, böylece ürettiği her polinom katsayısı dizinin elemanları olur. Ama girdilerin neyi değiştirdiğini anlamıyorum?

Diyelim ki üretici fonksiyonumuz var: $$G(x)=\sum^\infty_{k=0} p_k x^k$$

Farklı değerler verdiğimizde ne olur? $x$, sezgisel olarak ne değişiyor? Düşündüm ki$x^k$ terim katsayının dizideki yerini kodlamak için vardı, çünkü ekleyemiyoruz $p_ax^a$ ve $p_bx^b$ Eğer $ a \neq b$, böylece terimler heterojen kalır. Ancak olasılık dağılımı için özelliğin$G(1)=1$tutmalıdır. X'e bir değer vermenin yararlı olduğu tek durum bu mu?

Açıklamalar için şimdiden çok teşekkürler.

Answer 1

Eğer $X$ negatif olmayan tam sayılarda değerler alan ayrık bir rastgele değişkendir $\{0,1, \dots\}$, sonra olasılık üreten fonksiyon $X$ olarak tanımlanır:

$$\color{blue}{\displaystyle G(z)=\mathbb{E} \left(z^{X}\right)=\sum_{x=0}^{\infty }p(x)\;z^{x}}$$

nerede $p$ olasılık kütle fonksiyonu $X$. Un seçimi$z$ onun yerine $x$basitçe yaptığımız şeyin bir z dönüşümü olduğu fikriyle ilgilidir .

Bundan sonra gelenlere dikkat edin $z$ farklılaştıktan ve değerlendirildikten sonra geri kazanılan ilgi değerlerini asmak için bir çamaşır ipi gibi davranıyor $0$ PMF'yi kurtarmak için veya $1$anlar için sırasıyla. Bu sihir gerçeği sayesinde gerçekleşir$z$ ya olur $0$ tüm terimlerde (PMF) veya $1.$ Ancak her iki durumda da, rastgele değişkenle ilişkili değildir ve herhangi bir bilgi sağlamaz - bu bir kukla değişkenin eşdeğeridir.

ÖZELLİKLER:

1. Aşağıdakileri ayırt ederek SİZE OLASILIKLAR VERİR:

$$\color{blue}{\large p_i = \left. \frac{1}{i!}\quad\frac{d^i \, G(z)}{dx^i} \right|_{z=0}=\frac{1}{i!} \;G^{(i)}\;(0)}$$

1. $G\,(1)=1$ Çünkü $$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p_i \; 1^i=1$$

2. İlk diferansiyel

$$G^{(1)}(z) =\frac{d}{dz}\mathbb E\left[z^X\right]=\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]$$

1. İlk diferansiyel, $1$ size şu anlama gelir: $$G^{(1)}(1) =\left.\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]\right|_{z=1}=\mathbb E\left[X\quad1^{X-1}\right]= \mathbb E[X].$$

2. İkinci türev, $1$ faktöriyel momenttir ve varyans DEĞİLDİR, çünkü ikinci terimin karesi alınmamıştır.

$$\begin{align}G^{(2)}\;(1) &=\frac{d^2}{dz^2}\; \left.\mathbb E\left[z^X\right]\right|_{z=1}\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\;z^{X-2}\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left [X^2-X\right ]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X^2\right] - \mathbb E\left[X\right]\end{align}$$

1. Genelleme, sonra, $i$-th türevi değerlendirildi $1$ ... $i$faktöriyel an:

$$G^{(i)}\;(1)= \mathbb E\left[X\;(X-1)\;\cdots\;(X-i+1)\right]$$

1. Varyansı elde etmek için,

$$\begin{align}\sigma^2 &= \mathbb E\left[X^2\right]-\mathbb E\left[X\right]^2 \\[2ex] &=G^{(2)}\;(1)+G^{(1)}\;(1)-\left[G^{(1)}\;(1)\right]^2 \end{align}$$

1. Pgf'yi farklılaştırarak ve onu çarparak ham anlar elde edebiliriz $z$:

$$\mathbb E\left[X^i\right]= \left. \left( z\;\left(\frac{d}{dz}\right)^i \; G(z)\right)\right|_{z=1}$$