İşlevsel olarak, simetrik bir matris temsil ettiği doğrusal dönüşüm hakkında ne söyler?

Question

Simetrik bir matrisin tanımını, bileşenlerinin nasıl ilişkili olduğu açısından anlıyorum. Fakat işlevsel olarak, temsil ettiği doğrusal dönüşümle ilgili neyi gerektirir? Örneğin, blok üç köşegen matrislerinin girişler arasında özel ilişkileri vardır, ancak bunlar aynı zamanda işlevsel olarak bize bazı önemsiz vektör alt uzaylarının belirli bir temele göre doğrusal dönüşüm altında değişmez olduğunu söyler. Bu arada, çarpık simetrik matrisler işlevsel olarak neyi temsil eder?

Answer 1

Soruya ilişkin yorumlarda (ve bağlantılı tartışmada) şu iddiada bulunuyorum:

$M$ en az bir seçim (muhtemelen eğik) temele göre simetriktir, ancak ve ancak $M$ gerçek özdeğerlerle köşegenleştirilebilir. $M$ en az bir temel seçimine göre çarpık simetriktir ancak ve ancak $M$ doğrudan ölçeklenmiş bir toplamıdır $90^\circ $ rotasyonlar ve sıfır dönüşümler.

İlk olarak, simetrik durum. Eğer$M$ simetrikse, spektral teorem şunu belirtir: $M$gerçek özdeğerlerle köşegenleştirilebilir. Tersine, eğer$M$ gerçek özdeğerlerle köşegenleştirilebilir, bu durumda matrisin $M$gerçek çapraz girişlerle köşegendir. Bu köşegen matris simetrik olduğundan,$M$ bu temel seçimine göre simetriktir.

Durum için nerede $M$çarpık simetriktir, iki yaygın yaklaşım vardır. Kolay yön için: eğer$M$ doğrudan toplamı $90^\circ$ dönüşler ve sıfır dönüşümler varsa, matrisin $M$ blok-köşegen çarpık simetrik matristir $$ \pmatrix{0 & \kappa_1 \\-\kappa_1 & 0 \\ && \ddots \\ &&& 0 & \kappa_p\\ &&&-\kappa_p & 0 \\ &&&&&0 \\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&& 0}. $$Sohbet için iki yaklaşım var. Biri esas olarak Hermit matrisleri için spektral teoremi uygulamaktır, eğer$M$ çarpık simetriktir, sonra karmaşık matris $iM$Hermitian. Alternatif olarak, matrisine göre sistematik olarak bir temel oluşturabiliriz.$M$bu yazıda ana hatlarıyla belirtildiği gibi yukarıdaki blok-köşegen şekle ve burada bağlantılı kanıta sahiptir.