İspatını anlamak: Her dışbükey fonksiyon süreklidir

Question

Şu kanıtı anlamaya çalışıyorum:

Teorem 2.10. Eğer$f$ açık bir aralıkta tanımlanan dışbükey bir fonksiyondur $(a, b)$ sonra $f$ sürekli $(a, b)$

Kanıt. Varsayalım$f$ dışbükey $(a, b),$ ve izin ver $[c, d] \subseteq(a, b) .$ Seç $c_{1}$ ve $d_{1}$ öyle ki $$ a<c_{1}<c<d<d_{1}<b. $$ Eğer $x, y \in[c, d]$ ile $x<y,$ Lemma 2.9'dan aldık (bkz.Şekil 4$)$ o $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq \frac{f(d)-f(y)}{d-y} \leq \frac{f\left(d_{1}\right)-f(d)}{d_{1}-d} $$ ve $$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \geq \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq \frac{f(c)-f\left(c_{1}\right)}{c-c_{1}}, $$ seti göstermek $$ \left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|: c \leq x<y \leq d\right\} $$ ile sınırlanmıştır $M>0 .$ Takip eder $|f(y)-f(x)| \leq M|y-x|,$ ve bu nedenle $f$ eşit olarak süreklidir $[c, d] .$ Tek tip sürekliliğin süreklilik anlamına geldiğini hatırlatarak, şunu gösterdik: $f$ sürekli $[c, d] .$ aradan beri $[c, d]$ keyfi oldu $f$ sürekli $(a, b)$. ${}^2$ $\square$

(bu ekran görüntüsünden alınmıştır)

Sorularım :

1. İfadedeki modül değerleri nerede $\left\{\left|\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\right\}$ dan geliyorum?
2. Ne dersin $M=0$? Önemsiz olsa da bu davaya da değinilmesi gerektiğini düşünüyorum. Sanırım fikir şu ki$M=0$, sonra $f$sabittir ve dolayısıyla süreklidir. Ama bunu titizlikle nasıl gösterebiliriz?

Answer 1

Yazar sayıları bulduğundan beri $\alpha$ ve $\beta$ öyle ki her zaman, ne zaman $c\leqslant x<y\leqslant d$,$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leqslant\alpha$$ve$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\geqslant\beta,$$sonra set$$\left\{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$sınırlıdır ve bu nedenle$$\left\{\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\,\middle|\,c\leqslant x<y\leqslant d\right\}$$çok sınırlıdır. Yani biraz alabilirsin$M>0$ öyle ki$$c\leqslant x<y\leqslant d\implies\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|<M.$$Ve sen aldığından beri $M>0$olasılıkla uğraşmaya gerek yok $M=0$.

Answer 2

1. Bu ispatta, sınırlı bir küme üzerinde tekdüze sürekliliğe eşdeğer bir şey, yani Lipschitz sürekliliği kullanırız ve bu aynı zamanda bu ifadenin geldiği yerdir. Lipschitz sürekliliğinin tekdüze sürekliliği ifade ettiğini, ancak temel olarak görüldüğü için bunun genellikle dışarıda bırakıldığını kanıtlamak gerekir.
2. Neden göremiyorum $M=0$ eşitsizliği karşılayan herhangi bir işlev olarak ayrı ayrı ele alınması gerekir. $M=0$ herhangi bir pozitif için eşitsizliği tatmin eder $M$.