Kanıtlamak $(V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}$ Eğer $f$ dejenere değil

Question

İzin Vermek $f(\alpha, \beta)$ çift ​​doğrusal bir form olmak $n$boyutlu doğrusal uzay $V$ sayı alanı üzerinde $F$. Kanıtla, eğer$f(\alpha, \beta)$ herhangi bir alt uzay için dejenere değildir $V_1$ ve $V_2$ nın-nin $V$, sonra \begin{align*} & (V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}, \\ & (V_1 \cap V_2)^{\perp_R} = V_1^{\perp_R} + V_2^{\perp_R}. \end{align*} herhangi bir alt uzay için nerede $W$ nın-nin $V$, sol ortogonal grup $W^{\perp_L}$ve doğru ortogonal grup $W^{\perp_R}$ tarafından tanımlanır \begin{align*} & W^{\perp_L} = \{\alpha \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in W\}, \\ & W^{\perp_R} = \{\beta \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \alpha \in W\}. \end{align*}

Tanım gereği, (bu yönde, $f$ gerekli değildir) $V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L} \subseteq (V_1 \cap V_2)^{\perp_L}$. Diğer yönde çok fazla düşüncem yok, özellikle de$f$ uygulanmalı mı?

Answer 1

$\newcommand{\lbot}{\perp_L}$ $\newcommand{\rbot}{\perp_R}$

Önce tanım gereği kanıtlıyoruz ki \begin{align*} & (V_1 + V_2)^{\lbot} = V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}; \tag{1} \\ & (V_1 + V_2)^{\rbot} = V_1^{\rbot} \cap V_2^{\rbot}. \tag{2} \end{align*} İzin Vermek $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$sonra herhangi biri için $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, sahibiz \begin{align*} & f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0, \\ & f(\alpha, \beta_1 - \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) - f(\alpha, \beta_2) = 0. \end{align*}

Bu nedenle $f(\alpha, \beta_1) = f(\alpha, \beta_2) = 0$yani $\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$. Tersine, eğer$\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$sonra herhangi biri için $\beta = \beta_1 + \beta_2 \in V_1 + V_2$, nerede $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, sahibiz $$f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0 + 0 = 0,$$ yani $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$. İkinci eşitlik de benzer şekilde ispatlanabilir.

Eğer $f(\alpha, \beta)$ dejenere değildir, bunu herhangi bir alt uzay için gösteriyoruz $W$ nın-nin $V$, $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. Tanım olarak,$W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$. Diğer yönü göstermek için şu şekilde gösterilebilir:$f$ herhangi bir alt uzay için dejenere değildir $W$, $$\dim(W^{\lbot}) = \dim(W^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W).$$

Daha sonra bunu takip eder \begin{align*} \dim((W^{\lbot})^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W^{\lbot}) = \dim(V) - (\dim(V) - \dim(W)) = \dim(W). \tag{*} \end{align*} Bu eşitlik ve $W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$ Ima etmek $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. Benzer şekilde,$W = (W^{\rbot})^{\lbot}$.

Şimdi tarafından $(1)$ ve $(2)$, sahibiz \begin{align*} (V_1 \cap V_2)^{\lbot} = ((V_1^{\lbot})^{\rbot} \cap (V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = ((V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot}. \end{align*} Bu ispatı tamamlar.

(Eşitlik $(*)$ arasında bir harita oluşturarak kurulabilir $W^{\lbot}$ ilkinin çözüm alanına $\dim(W)$ matrisin sütunları $(f(\alpha_i, \alpha_j))$.)