Karmaşık bir vektör uzayındaki tüm dejenere olmayan çift doğrusal simetrik formlar izomorfiktir

Question

Karmaşık bir vektör uzayındaki tüm dejenere olmayan çift doğrusal simetrik formlar izomorfiktir. Bu, karmaşık bir vektör uzayında dejenere olmayan iki doğrusal simetrik formlar verildiğinde, vektör uzayı için bir temel seçebileceğiniz anlamına mı gelir ki, iki doğrusal formun matris gösterimi özdeş matris olur? Biri bana bunun neden olduğunu açıklamaya yardım edebilir mi?

Girişleri olan bir matris düşünüyorum $\mathbb{C}$doğrusal faktörlere (çokluklarla) bölünen karakteristik bir denkleme sahip olacak ve bu nedenle köşegenleştirilebilir, ancak yine de bu parçaları bir araya getiremiyor. Görüşler takdir edildi!

Answer 1

Cevap Evet.

İlk olarak, iki doğrusal formların izomorfik olduğunun bir kanıtı. Bunun geçerli olduğunu kanıtlamanın yeterli olduğunu unutmayın.$\Bbb C^n$.

İlk olarak, her ters çevrilebilir, karmaşık, simetrik matrisin formda yazılabileceğini iddia ediyorum. $A = M^TM$ bazı karmaşık matrisler için $M$. Bu, örneğin, Takagi çarpanlarına ayırmanın bir sonucu olarak görülebilir .

Şimdi izin ver $Q$ üzerinde simetrik bir çift doğrusal formu gösterir $\Bbb C^n$ve izin ver $A$ matrisini şu anlamda gösterir: $Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$. İzin Vermek$Q_0$ ile tanımlanan kanonik çift doğrusal formu ifade eder $Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$. Biz yazarız$A = M^TM$ bazı tersinir karmaşık matrisler için $M$.

Tanımlamak $\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$ tarafından $\phi(x) = Mx$. Bunu doğrulamak kolaydır$\phi$ çift ​​doğrusal çarpım uzaylarının bir izomormfizmidir, böylece iki uzay gerçekten de izomorfiktir.

Tüm bunlar yerleşik olarak: temelin değiştiğini görebiliriz $y = Mx$ şekildedir $Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$.