Kendimi buna nasıl ikna ederim (hayal et) $\Bbb S^1$-işlem $\Bbb S^3$ bir küre çemberi düzeltir?
Kendimi buna nasıl ikna ederim (hayal et) $\Bbb S^1$-işlem $\Bbb S^3$ bir küre çemberi düzeltir?
Jason DeVito'nun bu yorumu nedeniyle , şu eylemi görmek kolaydır:$\Bbb S^1$ açık $\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$ tarafından tanımlandı $z*(w_1,w_2)=(zw_1,w_2)$ tüm daireyi düzeltir $\{(0,w):|w|=1\}\subset\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$. Ama bunu hayal edemiyorum, çünkü zihnimdeki genel eylem resmi, bir çember hareketinin bir tür dönüş olduğudur, bu yüzden bir dönme eksenine sahiptir ve bu eksen etrafında dönmesi en fazla 2 noktada sabitlenebilir. Dönme ekseninin bir çizgi olmaması mümkün mü?
Şimdi, bu eylemi geometrik olarak nasıl düşünebilirim? $z*(w_1,w_2)=(zw_1,\bar zw_2)$.
Düzenleme: Son eylem hakkındaki anlayışım şudur:$\Bbb S^3$ saat yönünde dönüyor ve diğer taraf saat yönünün tersine dönüyor (ilk hareketten farklı bir düzlemde) ve bu hareketler kürenin ortasını etkiliyor ve ortada korkutucu ve kıvrımlı hale geliyor, Silindir gibi sınırlarını farklı yönlerde döndürürsek bükülüyor ortada vida gibi.
Yanıtlar
Benim için, rotasyonlar hakkında düşünme şeklim, için maksimal torus teoreminin bir sonucudur. $\mathrm{SO}(n)$. Yani, herhangi bir$A\in \mathrm{SO}(n)$ (yani bir dönüş $\mathbb{R}^n$ hangi düzeltmeler $0$), bazı temeller vardır $\mathbb{R}^n$ bu temelde, $A$ bir grup normalden oluşur $2$boyutlu rotasyon blokları.
Daha doğrusu, yazı $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ standart saat yönünün tersine döndürme matrisi için, her zaman bir birimdik taban vardır $\mathbb{R}^n$ içinde $A$ blok çapraz şeklini alır $$A=\begin{cases} \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{n/2})\Big) & n \text{ even}\\ \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{(n-1)/2},1)\Big) & n \text{ odd}\end{cases}.$$
Bu, rotasyonların temelde iki boyutlu fikirler olduğunu ve daha sonra daha yüksek boyutlara önyüklendiğini gösterir. Aslında, tüm rotasyonların oluşturulması için bir reçete verir.$\mathbb{R}^n$: Herhangi birini seçin $2$-düzlem ve biraz döndürün. Ortogonal tamamlayıcıda herhangi birini seçin$2$- düzlem ve döndürün. Bu ikisinin ortogonal tamamlayıcısında$2$- uçaklar, herhangi birini seç $2$-düzlem ve döndür, vb.
Hakkında düşünmek $\mathbb{R}^3$ bir an için $xy$düzlem, bir noktadan olan $xy$ herhangi bir noktaya uçakla $z$eksen. Aslında, bir$xy$ düzlemin üzerinde etkisi yoktur $z$eksen. Yukarıdaki ayrıştırma, bu fikrin daha yüksek boyutlara yayıldığını gösterir. Örneğin,$\mathbb{R}^4$ (koordinatlarla diyelim, $(x,y,z,t)$) içinde bir dönüş $xy$ uçak, bir noktadan uzaklığı değiştirmez $xy$ bir noktaya uçmak $zt$ uçak.
Bu nedenle, örneğin, $\Bbb S^3$iki şeyi zıt yönlerde döndürebilir. Görselleştirmek zor, ancak$xy$-düzlemin $zt$- düzlem, yani "bükülme" yok $\Bbb S^3$ eyleminizde gerçekleşir.
Öte yandan, silindir hareketiniz için, eyleminizin bir dönüş olmadığını unutmayın. $\mathbb{R}^3$silindirle sınırlı olduğundan yukarıdakilerin hiçbiri geçerli değildir. Aslında, silindir üzerindeki hareketinize dönüş demezdim. Bu, her sınır bileşeninde bir rotasyondur, ancak arasında ne olduğunu kim bilebilir!
İçinde bir dönüş beklenmez $\mathbb C^2 \approx \mathbb R^4$ bir çizgi olan bir "dönme eksenine" sahip olmak, yani gerçek boyutlu $1$. Öte yandan, bir olurdu gerçek keyfi dik boyutlu olması "dönme ekseni" bekliyoruz$2$, bunu yapar: tüm uçak $w_1=0$düzeltildi. Ve o uçağı ile kesiştiğinizde$S^3$ sabitlenmiş bir daire elde edersiniz.
Bu örneği görselleştirmek istiyorsanız, şu gerçeği kullanarak yapılabilir: $S^3$ tek noktalı sıkıştırmadır $\mathbb R^3$olarak yazacağım $S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}$. Bu modelde, sabit noktaların çemberi, içindeki birim çember olarak görselleştirilebilir.$x,y$-uçak: $$\{(x,y,0) \mid x^2 + y^2 = 1\} $$ Bu sabit noktalar çemberinin dışında, eylemin diğer her yörüngesi bir çemberdir ve biri bu çember yörüngelerini içinde görselleştirebilir. $\mathbb R^3 \cup \{\infty\}$ kullanma $(r,\theta,z)$silindirik koordinatlar aşağıdaki gibidir. Çember yörüngelerinden biri$\text{$z$-axis} \cup \{\infty\}$. Ardından, her sabit açı için$\theta_0$yarım düzlem $\theta = \theta_0$ sabit daireyi tek noktada deler $P(\theta_0)$ koordinatlarla $(r,\theta,z)=(1,\theta_0,0)$, bu yarım düzlemin sınır kenarı, $z$bir yörünge olan eksen ve yarım düzlemin geri kalanı, bir yöndeki tek noktaya giderek küçülen ve küçülen ve yaklaşan bir daire yörünge ailesi tarafından yapraklanır. $z$diğer yönde eksen gittikçe büyüyor (hiperbolik metrik $\frac{dr^2+dz^2}{r^2}$ bu yarı düzlemde, bunlar merkezlenmiş eşmerkezli dairelerdir. $P(\theta_0)$).