Kesir alanı $\mathbb Z_p[[X]]$

Question

Kesir alanının $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$olduğu kesinlikle Laurent Kuvvet dizisinin alanında bulunan$\mathbb Q_p((X))$, Gilmer'in bu sonucu sayesinde . Yani sorum şu:

Öğelerini açıkça tanımlamak mümkün mü $F$?

Mathoverflow'da veya burada bazı benzer sorular zaten sorulmuştu. Belki de en alakalı olanı , kesir alanının açık hesaplanmasıyla ilgili olanıdır .$\mathbb Z[[X]]$. Birisi bağlantılı sorunun yorumlarında sorunun$\mathbb Z_p$ (onun yerine $\mathbb Z$) daha kolay olmalı.

Kuvvet serilerinin katsayıları herhangi bir alanda olduğunda bazı genel gerekli koşullar burada verilmiştir , ancak özel durumda bazı yeterli koşullar bulmak istiyorum.$\mathbb Z_p$.

şimdiden çok teşekkürler

Answer 1

Bir güç seriniz olduğunu söyleyin $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$.

Sıfır değilse, şu şekilde yazabilirsiniz: $X^np^m\sum_k b_kX^k$ ile $b_0 \notin (p)$.

Özellikle $\mathbb Z_p$ yerel $b_0$ ters çevrilebilir ve bu nedenle $\sum_kb_k X^k$ aynı zamanda ters çevrilebilir: sadece $X^np^k$

Özellikle, $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$.

Yani bir element $f\in \mathbb Q_p((X))$ içinde $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ ancak ve ancak $p^n$ paydalarda sınırlıdır

(yukarıdaki açıklama "yalnızca eğer" bitini ve "eğer" için: sınırlandırılmışlarsa, ile çarpılarak $p^k$ için $k$ Yeterince büyük seni yere indirir $\mathbb Z_p((X))$)

YCor'un MO sorusunun yorumlarında belirttiği gibi $\mathbb Z[[X]]$, soru muhtemelen yerel halkalarda daha genel olarak daha kolaydır, ancak burada aslında maksimal idealin temel olduğunu kullandım (bu nedenle bu, ayrık değerleme halkaları üzerinde çalışır)