Kısmi diferansiyel denklemin özel çözümü

Question

Bunu çözmek için yardıma ihtiyacınız var.

Diferansiyel denklemin özel çözümünü bulun $$u_y = (5x + 2)u$$ veriyi tatmin eden $u(x, x^2) = x^3$.

Genelde karakteristik denklemi bulmaya çalışırım ama sadece görebiliyorum $u_y$ buraya.

Answer 1

Uygun bir integral faktör kullanarak bir ODE olarak ele alıyoruz: $$ u_y(x,y)=(5x+2)u(x,y)\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y} u_y(x,y)-\mathrm{e}^{-(5x+2)y}(5x+2)u(x,y)=0 \\ \quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)=f(x) $$ bazı işlevler için $f(x)$ bulunmak.

Bu nedenle $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x). $$ Şimdi, $u(x,x^2)=x^3$, bunu sağlar $$ x^3=u(x,x^2)=\mathrm{e}^{(5x+2)x^2}f(x) $$ ve dolayısıyla $$ f(x)=\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3 $$ Tamamen $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3= \mathrm{e}^{(5x+2)(y-x^2)}x^3. $$