Kısmi kesirlerde A ve B için çözerken benzer terimlerin katsayılarını eşitlemek ne anlama gelir?
Cambridge'in 10. yıl kitabında kısmi kesirleri çözerek kendime adım atmaya çalışıyorum. Bu, kendilerine meydan okumak isteyen öğrenciler için erken tanıttıkları bir kavramdır ve açıklamada oldukça hafiftir.
Örneğin: 7 / (x + 2) (2x-3) = A / 2x-3 + B / x + 2. Bunu 7 = x (A + 2B) + 2A − 3B'ye ulaştığım noktaya kadar nasıl çalıştıracağımı anlıyorum. Oradan "eşitleme katsayıları" denen bir şey yapmam gerektiğini okudum. Benzer terimlere yakın katsayılar eşit olmalıdır, böylece aşağıdaki sistem elde edilir: A + 2B = 0 2A − 3B = 7.
Ama denklemin bu kısımlarını bu değerlere koymamızın NEDEN veya nasıl geçerli olduğunu anlamıyorum. Örneğin neden A + 2B = 7 2A − 3B = 0 değil. YouTube'a bakmayı ve arkadaşlara sormayı denedim, ama kafamı burdan atamıyorum.
Yapabilirim ve bu yöntemi kullanarak A ve B'yi çözebilirim. Ama süreçte o noktada ne yaptığımı anlamakta gerçekten zorlanıyorum. Buna baktığımda ortaya çıkan cümle, "benzer terimlerin katsayılarını eşitleyebiliriz" oluyor. Örneğin , Kesir Ayrıştırma'daki wikipedia sayfasında "Bu denklemin her iki tarafının x'in katsayılarını ve sabit (x'e göre) katsayılarını eşitlemek ..." diyor. İkinci örnek: 7 / (x + 2) (2x-3) denklemini girdiğimde emathhelp sayfasında "Benzer terimlere yakın katsayılar eşit olmalıdır, bu nedenle aşağıdaki sistem elde edilir:" diyor .
Yanıtlar
Sanırım bu problemdeki adımlar konusunda biraz kafanız karıştı. Her iki tarafı payda ile çarptıktan sonra, bu durumda ortaya çıkan denklemi denemeniz ve çözmeniz gerektiğini unutmayın.$$7 = x(A+2B) + 2A - 3B.$$ Benzer terimler, aynı güçlerin katsayılarıdır.$x$. Bunu gözlemleyin$7 = 0x + 7$. Şimdi benzerliği görebiliyor musun? Vardı$(A+2B)$been şey ama $0$sıfır olmayan bir $ax$Yukarıdaki denklemin sol tarafındaki terim. Aynı mantık için de geçerlidir$(2A-3B)$.
Yani gerçekten sonunda $$A+2B = 0 \\ 2A - 3B = 7$$ aynı anda çözüldüğünde verir $A= 2$, $B = -1$.
İle çalıştığınızı varsayın
$$ax+b=3x+2.$$
Bunun herhangi biri için geçerli olduğunu kastediyoruz $x$. Yani özellikle yazabiliriz
$$x=0\to b=2,\\x=1\to a+b=5,\\ x=-1\to -a+b=-1,\\ x=2\to 2a+b=8,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=5000\to 5000a+b=1502,\\\cdots$$
Bu, iki bilinmeyen ve sonsuz sayıda denklemden oluşan bir sistemdir. Ancak, minimum sayıda denklem çözerseniz (ilk ikisiyle,$a=3, b=2$), çözüm tüm denklemler için geçerlidir, çünkü sembolik ifadeler tamamen eşdeğerdir.
Aynısı rasyonel kesirler veya herhangi bir tanımlama için de geçerlidir.