Konilerin kuadratlarla ne ilgisi var? 2 neden özel?
Konik bölümlerin son derece açık olmayan iki tanımından her zaman şikayet ettim (yani bir koninin dilimlerinin 2 değişkendeki 2. derece denklemlerle ilişkili olduğu çok gizemli / büyülü görünüyor). Son zamanlarda aşağıdaki sayfalara / videolara rastladım:
- Konikleri anlama arzumu yeniden alevlendiren elipslerle ilgili bu 3B1B videosu
- İkinci dereceden denklemler neden dik dairesel konik bölümlerle aynıdır? , bu soruyu çözmeye çalışmak için oldukça hesaplamalı bir yaklaşım sunan
- Pisagor üçlülerini görselleştirmeyle ilgili başka bir 3B1B videosu (yani bir dairenin rasyonel noktalarını bulma)
- ve Manjul Bhargava'nın Birch-Swinnerton-Dyer Varsayımı üzerine konuşması , burada ~ 10-15. dakikalar konikler üzerindeki rasyonel noktaların sorunlarına tam çözümü tartışmaktadır.
3B1B'nin videosu geometrik açıdan çok mantıklı ve çok güzel olsa da, diğer koniklerin hiçbirinden bahsetmiyor veya "2. derece" ile olan ilişkiyi tartışmıyor. Dahası, bağladığım 2. 3B1B videosu ve ardından Bhargava'nın dersi, "2. derece" yi daha yüksek derecelere kıyasla iyi anladığımız bir şey olarak vurguluyor (bana biraz Fermat'ın son teoremini ve çözümlerin yokluğunu hatırlatıyor.$n>2$).
Sanırım sorularım şöyle:
- Neden sezgisel bir bakış açısından, konilerin 2. derece cebirsel denklemlerin sıfır kümeleriyle derinlemesine ilişkili olmasını beklemeliyiz?
ve daha genel olarak:
- "2" nin bu kadar özel olmasının derin bir nedeni var mı? "Matematik, kafa karıştırıcı şeyleri doğrusal cebire dönüştürmekle ilgilidir" şeklindeki şakayı sık sık duydum çünkü doğrusal cebir "matematikçilerin tamamen anladığı tek konudur"; ama aynı zamanda ikinci dereceden pek çok güzel şeyi de anlıyoruz gibi görünüyor - konilerle yukarıda bahsedilen ilişkiye, rasyonel noktaların tam bir anlayışına ve Pisagor teoremine sahibiz (ah! ve ben sadece ikinci dereceden karşılıklılık düşündüm).
Ayrıca, fizikteki birçok denklemin 2 (ikinci türev) ile ilişkili olduğunu not etmek ilginçtir, ancak bu biraz zor olabilir. Paylaştığınız fikirlere minnettarım!
Yanıtlar
Bir koninin kendisi ikinci dereceden! İki yerine üç değişkende. Daha kesin olarak, konik yüzeyler "dejenere hiperboloidlerdir ", örneğin
$$x^2 + y^2 - z^2 = 0.$$
Konik bölümlerin alınması, bir koninin bir düzlemle kesişmesine karşılık gelir $ax + by + cz = d$, bu, üç değişkenden birinin, diğer ikisinin doğrusal bir kombinasyonu artı bir sabit ile değiştirilmesi anlamına gelir; bu, iki değişkende ikinci dereceden bir sonuç üretir. Görmesi en kolay olanı, eğer$z$ bir sabit ile değiştirilir $r$ sonra bir çember elde ederiz $x^2 + y^2 = r^2$ (yukarıdaki denklemi bu şekilde bulabilirsiniz; bir koni, dilimi $z = \pm r$ yarıçaplı bir çemberdir $r$). Benzer şekilde eğer$x$ veya $y$ bir sabit ile değiştirilir, bir hiperbol elde ederiz.
Kuadratiklerin neden kübiklerden çok daha kolay anlaşılabildiğine dair sunacak tam bir resmim olduğunu bilmiyorum. Belki de söylenebilecek en basit şey, ikinci dereceden formların kare (simetrik) matrislerle yakından ilişkili olmasıdır.$M$onlar yazılabildiğinden $q(x) = x^T M x$. Ve kare matrisleri anlamak için pek çok aracımız var, bunların hepsi daha sonra kuadratik formları anlamak için kullanılabilir, örneğin spektral teorem . Kübik formlar için karşılık gelen nesneler bir derecedir$3$ analizi daha zor olan tensör .
Belki bunu söylemenin oldukça aptalca bir yolu $2$ özeldir çünkü eşit olmayan en küçük pozitif tam sayıdır $1$. Dolayısıyla kuadratikler doğrusal olmayan en basit şeylerdir ve benzeri.
Koni nedir?
Bir katıdır, böylece merkez eksenine dik olan her kesit bir çemberdir ve bu kesitin yarıçapı, koninin tepe noktasından olan mesafeyle orantılı olarak daireler çizer.
Ve bu kadar. koninin yüzeyi noktalardır$(x,y,z)$ nerede $z = h= $ enine kesitin yüksekliği $= r = $kesitin yarıçapı. Ve$(x,y)$ yarıçaplı çemberin noktalarıdır $r = h = z$.
Bir çemberin denklemi olduğu gibi $\sqrt{x^2 +y^2} = r$ veya $x^2 + y^2 = r^2$ bir koninin denklemi $x^2 + y^2 = z^2$.
Her konik bölüm, koniyi bir düzlemle kesişen bir maddedir. Düzlem, kısıtlama ile ilişkilendirilecek üç değişkenin bir kısıtlamasıdır$ax +by + cz= k$ ve bu, herhangi bir üçüncü değişkeni diğer ikisinin doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade etme meselesidir.
Yani bir düzlem ve koninin kesiti, 2 derecelik denklemin bir türevi olacaktır. $x^2 = y^2 = z^2$değişkenlerden biri diğer ikisinin doğrusal kombinasyonu olacaktır. Başka bir deyişle, iki değişkenli ikinci derece bir denklem.
Ve hepsi bu kadar.
Elbette asıl soru, neden bir çemberin denklemi $x^2 + y^2 =r^2$? ve neden bu ikinci derece denklemin bu kadar önemli bir temsilidir?
Ve bu tamamen Pisagor teoreminden kaynaklanıyor. Herhangi bir noktayı alırsak$(x,y)$ bir uçakta ve üç noktayı düşünün $(x,y), (x,0)$ ve $(0,0)$dik üçgenin üç köşesi için. Bu üçgenin bacakları uzunluktadır$x$ ve $y$ ve bu nedenle Pisagor teoremine göre hipotenüsün uzunluğu olacak $\sqrt{x^2 + y^2}=h$ ve bu mesafedir $(x,y)$ -e $(0,0)$.
Şimdi bir daire, mesafenin $(x,y)$ -e $(0,0)$ sabit değerdir $r = h$. Ve böylece tüm noktalar bu olacak$(x,y)$ nerede $\sqrt{x^2 + y^2} =r$.
Ve bu kadar. Bu nedenle: mesafeler dik üçgenlerle, dik üçgenler 2. derece denklemlerle, daireler mesafelerle, koniler dairelerle ilgilidir ve hepsi 2. derece denklemlerle ilgilidir.
Bu kadar.
Bunun en yakın nedeni, konilerin dairelere dayanması ve dairelerin de ikinci dereceden denklem tarafından verilmesidir.
$$x^2 + y^2 = r^2$$
. Şimdi, dairelerin bu denkleme sahip olmasının nedenine gelince, çünkü bunlar, belirli bir merkezden sabit bir mesafedeki tüm noktaların kümesi olan Öklid mesafe fonksiyonu ile ilişkilidir, burada geleneksel olarak başlangıç noktası olarak alınır. Özellikle,
$$d(P, Q) = \sqrt{|Q_x - P_x|^2 + |Q_y - P_y|^2}$$
Öklid metriğinin neden bu biçime sahip olduğu ölçüde, bunun şu noktaya geldiğini söyleyebilirim. Bu konuda biraz daha fazla fikir edinmek için, biraz daha genel metrik biçimini dikkate almak yararlıdır.
$$d_p(P, Q) := \left(|Q_x - P_x|^p + |Q_y - P_y|^p\right)^{1/p}$$
aradı $p$- aslında, "peki, gücün 2 olmamasına izin verirsek ne olur ?" sorusundan kaynaklanan ve bu soruyu cevaplamak için doğru olan metrikler.
Ve ortaya çıktı ki $d_2$çok özel bir özelliği var. Geometrik bir nesneyi alabileceğiniz, üzerinde bir pivot noktası belirleyebileceğiniz, daha sonra o nesnede başka bir noktayı alıp etiketleyebileceğiniz, pivottan etiket noktasına kadar olan mesafeyi ölçebileceğiniz ve şimdi o nesneyi dönüştürebileceğiniz tek şey budur bu şekilde merkez sabit kalırken, etiket noktası aynı mesafede farklı bir yöne bakar ve yine de tüm nesnenin genel boyutu ve şekli değişmeden kalır. Ya da başka bir deyişle, "rotasyon" gibi bir şeyin, katı bir hareket olarak geometrik anlam ifade etmesi.
Öyleyse, konilerin ikinci dereceden olmasının nihai nedeni nedir? Çünkü Öklid uzayında, boyutlarını ve şekillerini değiştirmeden şeyleri istediğiniz şekilde döndürebilirsiniz.
Hazırlık seviyenize bağlı olarak okunması zor olabilecek bir David Mumford makalesi var .
Bu makalenin özü, herhangi bir polinom denklem sisteminin, ikinci dereceden ve doğrusal denklemler sistemine (daha fazla değişken ve daha fazla denklem ekleyerek) değiştirilebileceğini söylemektir .
Polinom sisteminin parametreleri varsa, bu parametrelerin yalnızca doğrusal denklemlerde görünmesini sağlayabileceğini göstermek için muhtemelen bunu daha fazla genellemek mümkündür .
Bunun çok özel erken durumu, bahsettiğiniz durumdur.
"2" nin fizik için özel olmasının bir nedeni, kuvveti ivmeyle (hız değil) ilişkilendiren Newton'un ikinci yasasıdır ve bu ikinci bir türevdir. Ters kare kanunlarında da "2" nin rolü var.
"2" nin çeşitli değişkenlerde ikinci dereceden formlar aracılığıyla geometride özel olmasının nedeni, çeşitli değişkenlerdeki ikinci dereceden formların birkaç güzel özelliğe sahip olmasıdır.
- Her ikinci dereceden form, tüm çapraz terimleri kaldırmak için köşegenleştirilebilir, böylece köşegen ikinci dereceden formlar durumuna odaklanabilirsiniz. $a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2$. (Kesinlikle bu, karakteristik alanları üzerindeki ikinci dereceden formlar için doğru değildir.$2$ama karakteristikten geometrik sezgiye sahip değilsiniz $2$.) Bunun aksine, kübik formlar köşegenleştirilemeyebilir. $\mathbf C$. Örneğin, kübik form$y^2z - x^3 + xz^2$ (homojenizasyondan arındırılmış formdaki sıfır seti denklem tarafından verilir $y^2 = x^3 - x$) köşegenleştirilemez $\mathbf C$: yorumlarımı burada gör
Her tekil olmayan kuadratik form, yansımaların yapısı sayesinde geniş bir otomorfizm grubuna sahiptir . İkinci dereceden formun ortogonal grubu olarak adlandırılır. Bunun aksine, yüksek dereceli homojen bir polinomun "ortogonal grubu"$f(\mathbf x)$ (bu, doğrusal dönüşümler grubu anlamına gelir $A$ polinomu korumak: $f(A\mathbf x) = f(\mathbf x)$) genellikle sonludur, örneğin, tek izometrileri $x_1^n + \cdots + x_n^n$ için $n \geq 3$ koordinat permütasyonları ve koordinatları çarparak $n$Birliğin inci kökleri.
Geometrinin temeli, simetrik bir çift doğrusal ilişki olmasını istediğiniz ortogonalite kavramıdır: $v \perp w$ ancak ve ancak $w \perp v$, ve eğer $v \perp w$ ve $v \perp w'$ sonra $v \perp (ax + a'w')$ tüm skalerler için $a$ ve $a'$. Bu, iki doğrusal formlara bakmayı önerir$B(v,w)$ bir vektör uzayında ve ilişkinin ne zaman $B(v,w) = 0$ ("özet"$v \perp w$") simetriktir. Bunun ancak ve ancak $B$simetrik veya değişkendir. İlk durum, karakteristiğin dışında$2$, ikinci dereceden formu çalışmakla yakından ilgili $Q(v) = B(v,v)$.
2 numaralı indeks, açıların mesafelerden tanımlanabilme şekli ile bağlantılı olarak özeldir.
Tanımlanabilecek birçok olası mesafe fonksiyonu (norm) vardır, ancak bunların çoğu açıların tutarlı bir şekilde tanımlanmasına izin vermez. Açılar bir iç çarpımdan (iç çarpım) tanımlanır ve bu sadece norm ikinci dereceden ifadeye uyuyorsa tanımlanır.$$||u+v||^2+||u-v||^2=2||u||^2+2||v||^2$$ herhangi bir vektör için $u$ ve $v$.
Farklı bir norm olan bir alanda daha az dönüş vardır. Bir daire veya kürenin yalnızca sınırlı sayıda olası dönüşü olabilir. 3 boyutlu bir "koni"$(x,y,z)$ tarafından tanımlandı $||x+y||=||z||$ hala düzlemler ve bulunan (kuadratik olmayan) eğriler ailesi ile kesişebilir.
Olağan geometride açılar tanımlanır, bu nedenle uzunluklarla karşılanması gereken ikinci dereceden bir ifade vardır.