Koşulları karşılayan tüm karmaşık sayıları belirleyin - $|z|=2$ $\space$ ve $\space$ Ben $(z^6)=8$ Ben $(z^3)$
Tüm karmaşık sayıları belirle $z$ aşağıdaki koşulları sağlayan:
$|z|=2$ $\space$ ve $\space$ Ben$(z^6)=8$ Ben$(z^3)$
İlk önce hesapladım $z^3$ ve $z^6$.
$z^3=x^3-3xy^2+3x^2yi-y^3i$
$z^6=(x+yi)^6=\binom{6}{0}x^6+\binom{6}{1}x^5yi+\binom{6}{2}x^4(yi)^2+\binom{6}{3}x^3(yi)^3+\binom{6}{4}x^2(yi)^4+\binom{6}{5}x(yi)^5+\binom{6}{6}(yi)^6$
$=x^6+6x^5yi+15x^4(-y^2)+20x^3(-y^3i)+15x^2y^4+6xy^5i-y^6$
Sonra hayali parçaları Im denklemine koydum$(z^6)=8$ Ben$(z^3)$ ve takip etti
$6x^5y-20x^3y^3+6xy^5=8(3x^2y-y^3)$
$2xy(x^2-3y^2)\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}=8y\require{cancel} \cancel{(3x^2-y^2)}$ (*)
$x(x^2-3y^2)=4$ $\space$ (1)
itibaren $|z|=2$ takip eder $\sqrt{x^2+y^2}=2$ $\space$ $\rightarrow$ $y^2=4-x^2$ (2)
(1) 'e (2) koyduktan sonra
$x^3-3x=1$
ve daha sonra $x=2\cos\varphi$
denklem $8\cos^3\varphi-6\cos\varphi=1$ dönüştürülebilir
$2\cos3\varphi=1$(Bunu kimliğinin yardımıyla aldım$\cos {3x}$)
ve daha sonra
$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$
$\varphi_2=-\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$, $\space$ $k \in \mathbb{Z}$
Farklı yazılmış çözüm
$\varphi_1=\frac{\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_2=\frac{5\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_3=\frac{7\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_4=\frac{11\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_5=\frac{13\pi}{9}+2k\pi$
$\varphi_6=\frac{17\pi}{9}+2k\pi$
(*) İfadelerine uygun olarak $3x^2-y^2$çıkarıldı. Bunu dahil etmeliyiz
$3x^2-y^2=0$
$3x^2-(4-x^2)=0$
$4x^2=4$
$x^2=1$
$(2\cos\varphi)^2=1$
$\cos^2\varphi=\frac{1}{4}$
Bu denklemi çözdükten sonra
$\varphi_7=\frac{\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_8=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_9=\frac{4\pi}{3}+2k\pi$
$\varphi_{10}=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$
Ders kitabımdan çözüm:
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_1=2(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})}$.
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_2=2(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3})}$.
$\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{z_3=2(\cos\frac{7\pi}{3}+i\sin\frac{7\pi}{3})}$.
Biri bir hata bulmama yardım edebilir mi?
Hata bulursanız düzenlemekten çekinmeyin. Aşağıdaki resimde 10 çözümün tamamı var.
Yanıtlar
Üstel biçimiyle çözmek daha kısadır. $z$: modülü olduğundan $2$, yazabiliriz $\:z=2\,\mathrm e^{i\theta}$. ve hayali kısımlardaki denklem olur$\DeclareMathOperator{\im}{Im}$ $$\im(z^6)=\im\bigl(64\mathrm e^{6i\theta} \bigr)=64\sin 6\theta,\qquad \im(8z^3)=\im\bigl(64\mathrm e^{3i\theta}\bigr)=64\sin 3\theta$$ bu basit standart trigonometrik denklemin $\;\sin 6\theta=\sin 3\theta$. Çözümleri$$ \begin{cases} 6\theta\equiv 3\theta \iff 3\theta\equiv 0\mod 2\pi\iff\theta\equiv 0\mod\frac{2\pi}3,\\ 6\theta\equiv \pi-3\theta \iff 9\theta\equiv \pi \mod 2\pi \iff \theta\equiv \frac\pi 9 \mod\frac{2\pi}9 . \end{cases} $$ Çözümlerin kısa bir biçimi $\theta$ olabilir $$\theta\in\Bigl\{\frac{k\pi}9\,\Bigm|\, k=0, \pm 1,\pm3,\pm 5,\pm 7, 9 \Bigr\}. $$
Genelliği kaybetmeden denklemleri $$|z|=1 ,\text{Im}(z^6)=\text{Im}(z^3)$$
Bundan ne zaman olduğunu söyleyebiliriz $z=\omega_i$ (nerede $\omega_i$ birliğin küp kökleridir), denklemler kesinlikle doğru olacaktır.
Bundan sonra, polinom genişletmelerini kullanın. $z^6 $ ve $z^3$ düşünen $z=x+i y$ etkili bir şekilde çözen $$6xy^{5}\ -20x^{3}y^{3}+6x^{5}y=\left(3yx^{2}-y^{3}\right)$$ şartıyla $$x^2+y^2=1$$ bu bir birim çemberdir.
Aşağıdaki grafiğe buradan ulaşabilirsiniz
Kırmızı daire siyah grafik kesişimleri ve etiketli koordinatlarla mavi noktaları gerekli çözeltilerdir.