Koşullu olasılığı iki kez uygulayın

Aug 17 2020

Toplam olasılık yasasına göre, bunu biliyorum $P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|C^c)P(C^c)$. Aynı mantığı uygulayarak şunu söylemek isterim$$P(A|B) = P(A|B,C)P(C) + P(A|B,C^c)P(C^c)$$ Ancak, bu sonucun yanlış olduğunu biliyorum çünkü olasılıkları genişlettiğinizde - LHS, RHS ile eşleşmiyor.

Nasıl düzgün bir şekilde genişletebilirim $P(A|B)$ başka bir olayı şartlandırarak $C$?

Yanıtlar

JohnWhite Aug 18 2020 at 02:52

$$ P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} = \frac{P(A,B,C) + P(A,B,C^c)}{P(B)} = \frac{P(A|B,C)P(B,C) + P(A | B, C^c)P(B,C^c)}{P(B)} $$

$$ = P(A|B,C)P(C|B) + P(A | B, C^c)P(C^c|B) $$