KŞ üzerinde ters çevrilebilir bir demetin kaba düzenine doğru itilmesi neden ters çevrilemez?
Sorum gerçekten belirli bir örnekle ilgili. İzin Vermek$G = \mu_2$ 2. sıranın döngüsel grubu olsun. $* := \text{Spec }\mathbb{C}$ve izin ver $BG := [*/\mu_2]$ yığın bölümü, nerede $\mu_2$ önemsiz davranır $*$. İzin Vermek$\mathcal{O}_{BG}$ yapı demetini gösterir ve $L$ ters çevrilebilir demeti göster $BG$ önemsiz temsiline karşılık gelen $\mu_2$ açık $\mathbb{C}$. Böylece,$L(*\rightarrow BG) = \mathbb{C}$ve eylemi $\mu_2$ açık $*\rightarrow BG$ ters çevirme eylemine neden olur $\mu_2$ açık $\mathbb{C}$.
İzin Vermek $c : BG\rightarrow *$kanonik haritayı kaba şemasına gösterir. Duydum eğer$L$ ters çevrilebilir demeti gösterir $BG$ basit olmayan temsili ile verilir $\mu_2$ açık $\mathbb{C}$, sonra $c_*L$ tersine çevrilemez $*$. Bununla birlikte, tanımları takiben (aşağıya bakınız), öyle görünüyor ki$c_*L$ gerçekten ters çevrilebilir $*$. Nerede yanlış yaptım?
Pushforward tanımına göre, $c_*\mathcal{O}_{BG}$ sınıra eşit olmalıdır
$$\lim\mathcal{O}_{BG}(*\rightarrow BG)$$ sınırın tüm morfizmler üzerinde değiştiği $f : *\rightarrow BG$ doyurucu $c\circ f = \text{id}_*$. Otomorfizm grubundan beri$*\rightarrow BG$ önemsiz davranır $\mathcal{O}_{BG}$bu sadece iki nesneli diyagramın sınırıdır $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$sadece köşegen olan $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
Benzer şekilde, global bölümleri $c_*L$ iki nesne diyagramının sınırı olmalıdır $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$, bu sadece çiftler kümesidir $\{(a,-a) : a\in\mathbb{C}\}$.
Eylemi $c_*\mathcal{O}_{BG}$ açık $c_*L$ diyagramın koordinat olarak çarpma işlemi olmalıdır $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$ diyagramda $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$. Yani, küresel bölümlerde, eylem$$c_*\mathcal{O}_{BG}\times c_*L\longrightarrow c_*L$$ sadece verilmeli $((r,r),(a,-a)) \mapsto (ra,-ra)$. Bu öyle görünüyor$c_*L$ ters çevrilebilir bir demet üzerine $*$, ama bunun aslında doğru olmadığını duydum. Nerede yanlış yaptım?
Yanıtlar
İtici $c_{\ast}L$ tek nesneli diyagramın sınırı olmalıdır "$\mathbb{C}$"ve iki (otomatik) morfizm"$\mathrm{id} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$" ve "$-1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"; başka bir deyişle, eşitleyicidir $\mathrm{id}$ ve çarpma ile ($-1$); bu yüzden aslında$c_{\ast}L = 0$.
Daha genel bir ifade şu şekildedir: yarı uyumlu arasındaki yazışma altında $\mathcal{O}_{BG}$-modüller ve $G$-representations, pushforward functor $c_{\ast}$ karşılık gelir $G$-değişkenler işleci.
Değiştirirsek $\mathbb{C}$ karakteristik 2 alanına göre, o zaman dikkatli olmamız gerekir - genel olarak yarı uyumlu $\mathcal{O}_{B(\mathbb{Z}/(2))}$-modüller $\mathbb{Z}/(2)$- temsiller ve neredeyse tutarlı $\mathcal{O}_{B\mu_{2}}$-modüller $\mathbb{Z}/(2)$dereceli vektör uzayları (buradaki ileri doğru itme, dereceyi almaya karşılık gelir $0$ dereceli bileşen).