$\mathbb R$ tarafından oluşturulan topoloji ile $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ sözde kompakt

Question

UChicago GRE hazırlık soru setlerinden aşağıdaki soruyu çözmeye çalışıyorum :

Bağış $\mathbb R$ doğru topoloji ile $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ ve bu boşluğu ara $X$. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

(...)

(E) $X$ sözde kompakttır (her sürekli işlev $f: X \to \mathbb R$ Sınırlı)

Cevap anahtarı başına (E) yanlış değil. Daha önce sözde kompaktlık terimini duymamıştım ama tanımından bir şeyler çözmeye çalışıyorum. Doğru anlarsam, topoloji$\mathcal O_\tau$ temel tarafından oluşturulmuş $\tau$ dır-dir $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. Sürekli işlevlerin temel özelliği, her açık kümenin ön görüntüsünün açık olmasıdır. Sadece bunu kullanarak bunu nasıl gösterebiliriz$f: X \to \mathbb R$ Sınırlı?

Answer 1

İpucu :$X$daha da güçlü bir özelliğe sahiptir: her sürekli gerçek değerli fonksiyon (aslında, Hausdorff uzayındaki değerlere sahip her sürekli fonksiyon) sabittir. Bu, her iki boş olmayan açık alt kümesinin olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır.$X$ kesişir.

Answer 2

Varsayalım $f:X \to \Bbb R$ süreklidir ve varsayalım $f$sabit değildi. Bu, var olduğu anlamına gelir$x_1 \neq x_2 \in X$ ile $f(x_1) \neq f(x_2)$. Varsayalım (WLOG)$f(x_1) < f(x_2)$ o zaman bul $c\in \Bbb R$ ile $f(x_1) < c < f(x_2)$. Sonra$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ açık ve $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ çok açık (her ikisi de sürekliliği ile $f$) ve $O_1$ ve $O_2$ bu nedenle boş olmayan açık ve ayrık $X$. Ancak bu, asla$X$ tanım gereği her zaman formdadır $(a, +\infty)$ ve bunlardan herhangi ikisi kesişir (sınır noktalarının maksimum değerinden daha büyük herhangi bir nokta kesişimdedir).

Yani herhangi bir sürekli gerçek değerli $f$ açık $X$ sabittir (kesinlikle sınırlıdır), dolayısıyla $X$ sözde kompakttır.