Milnor ve Stacheff'te Soru - Karakteristik Sınıflar, Chern Sınıflarının Oluşturulması
Aşağıdaki paragraf kitaptan alınmıştır:
Şimdi bir kompleks için karakteristik sınıfların endüktif bir tanımını vereceğiz. $n$- uçak paketi $\omega=(\pi: E\to M)$. İlk önce bir kanonik oluşturmak için gerekliyse$(n-1)$- uçak paketi $\omega_0$ silinen toplam alanın üzerinde $E_0$. ($E_0$ sıfır olmayan tüm vektörlerin kümesini gösterir $E$.) Bir nokta $E_0$ bir elyafla belirtilir $F$ nın-nin $\omega$ sıfır olmayan bir vektörle birlikte $v$o lifte. Önce bir Hermitian metriğinin belirtildiğini varsayalım$\omega$. Sonra elyaf$\omega_0$ tanımı gereği, ortogonal tamamlayıcısıdır $v$ vektör uzayında $F$. Bu, karmaşık bir vektör boyut uzayıdır$n-1$ve bu vektör uzayları açıkça yeni bir vektör demetinin lifleri olarak düşünülebilir. $\omega_0$ bitmiş $E_0$.
Soru: Toplam alanın nasıl olduğunu anladım $\omega_0$tanımlanmış. Fakat toplam uzayın topolojisi nasıl tanımlanır? Bundan bahsedilmiyor.
Yanıtlar
Aşağıdaki eşlemeleri düşünün:
$\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ pi ^ * E @ >>> E \\ @V \ bar \ pi VV @VV \ pi V \\ E @ >> \ pi> M \ end {CD}
geri çekilme paketi oluşturan $\bar \pi : \pi^*E \to E$her biri için nerede $v\in E$, $$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$ (yani, lif yalnızca liftir $F_x$, nerede $x = \pi(v)$). $\pi^*E$geri çekme paketinin topolojisi verilir. Dan beri$E_0$ alt kümesidir $E$kısıtlama bir paket verir
$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$
ve paket $\omega_0$kitapta oluşturulmuş bir (1) alt paketidir. Artı, (1) tarafından verilen alt uzay topolojisine sahiptir.