Minimum güven aralığı uzunluğunu oluşturan değer nedir?
Rastgele bir değişken $X$ takip eder $$f(x|\theta)=\frac{1}{2}e^{-|x-\theta|} \quad -\infty<x<\infty$$
Bir güven aralığı düşünüyorum $\theta$, $S(X)=[X-b,X+c]$.
Güven seviyesini belirlediğimde $1-\alpha$, değerleri nelerdir $b$ ve $c$ bu, güven aralığının minimum uzunluğunu yapar $d=b+c$?
Ne buldum
Bundan önceki soru şunun olasılığını sordu: $${\theta-c \leq X \leq \theta +b}$$
ve cevabı kolayca aldım $$\int_{\theta -c }^{\theta+b } f(x|\theta) dx=\frac{1}{2}(e^b-e^c)$$
Bir güven aralığına ihtiyacım olursa düşünüyorum $/theta$, Ayarlamam gerek $$P(X-b\leq\theta\leq X+c)>1-\alpha$$ ama PDF'sini bilmiyorum $\theta$. Burada sıkışıp kaldım.
Biri bana yardım edebilir mi?
Yanıtlar
Sağladığınız pdf, verilen θ altında X'in koşullu bir pdf'si olduğundan, verilen θ altında X'in güven aralığını (CI) türetmek mümkündür, ancak θ'nin CI'sini türetmek mümkün değildir.
Aksine, f (θ | x) 'in pdf'si aynı ifade ile veriliyorsa, en kısa CI θ S (x) = [x + ln (alfa) x-ln (alfa)] şeklinde türetilebilir.
Olasılık sonucunuzda bir hata var (bu, sınırsız olduğu gerçeğiyle açık olmalıdır). Aralığı kullanma$\text{CI}(X) = [X-b, X+c]$ Kapsam olasılığına sahip olmalısınız:
$$\begin{align} \mathbb{P}(\theta \in \text{CI}(X)) &= \mathbb{P}(X-b \leqslant \theta \leqslant X+c) \\[6pt] &= \mathbb{P}(\theta-c \leqslant X \leqslant \theta+b) \\[6pt] &= \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} \text{Laplace}(x|\theta,1) \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{\theta-c}^{\theta+b} e^{-|x-\theta|} \ dx \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \ \int \limits_{\theta}^{\theta+b} e^{-x+\theta} \ dx - \int \limits_{\theta}^{\theta+c} e^{-x+\theta} \ dx \Bigg] \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ (1-e^{-b}) - (1-e^{-c}) \Bigg] \\[6pt] &= \frac{e^{-c} - e^{-b}}{2}. \\[6pt] \end{align}$$
(Sonucunuzun aksine, bunun bire yaklaştığını gözlemleyin. $b \rightarrow \infty$ veya $c \rightarrow \infty$Bu nedenle, bu formun optimum güven aralığını bulmak, aşağıdaki optimizasyon problemini çözmenizi gerektirir:
$$\text{Minimise } b+c \quad \text{ subject to } \quad e^{-c} - e^{-b} = 2(1-\alpha).$$
Biraz çalışmayla, optima'nın ne zaman gerçekleştiğini göstermeniz mümkün olmalıdır. $b=c$, böylece optimum güven aralığı, orta nokta ile bir $x$. Laplace dağılımının ortalama parametre etrafında simetrik olduğu düşünüldüğünde, bu şaşırtıcı değildir.$\theta$.