$\mu(A_n \Delta B_n)=0$ hepsi için $n.$

Aug 18 2020

İzin Vermek $(X,S,\mu)$ bir ölçü alanı ve izin ver $(A_n), (B_n)$ S. If elemanlarının iki dizisi $\mu(A_n \Delta B_n)=0$ tüm n ispat için aşağıdakiler $\mu-$boş kümeler ($\mu(E)=0$ için $E\in$S):

ben) $\mu( ( \bigcup^{\infty}_{n=1}A_n) \Delta (\bigcup^{\infty}_{n=1}B_n))$.

ii) $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))$.

iii) $\mu((\overline{\lim} A_n) \Delta ((\overline{\lim} B_n))$.

iv) $\mu((\underline{\lim} A_n) \Delta ((\underline{\lim} B_n))$.

(İ) için bunu kanıtlıyorum $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$, Çünkü $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=0$ ve $B_n-A_n$, $A_n-B_n$ ayrık, o zaman $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=\mu(A_n-B_n)+\mu(B_n-A_n)=0$ herkes için, ama $\mu$ olumsuz değil, öyleyse $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$.

(İi) için bunu kullandım $({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n)\subset ({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n)$ sonra $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))\leq \mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n))$.

Ama (iii) ve (iv) için emin değilim.

Yanıtlar

1 CzylabsonAsa Aug 18 2020 at 03:48

Bazı genel kimliklere ihtiyacımız var:

İzin Vermek $K$bir dizin kümesi. Sonra:$$ \bigcup_{k\in K} X_k \triangle \bigcup_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ X \triangle Y = X^{c} \triangle Y^c \\ \bigcap_{k\in K} X_k \triangle \bigcap_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ $$ İlk kimlik: If $a\in \bigcup_{k\in K} X_k$ fakat $a\notin \bigcup_{k\in K} Y_k$, sonra $a\in X_{k_0}$ ve $a\notin Y_{k_0}$, yani $a\in X_{k_0}\triangle Y_{k_0}$, bazı $k_0\in K$. Diğer durum benzer.

İkincisi: küme farkının tanımı.

Üçüncüsü: birinci ve ikinci ve De-Morgan'ı uygulayın

(İ) ve (ii) 'nin yanıtlanması yukarıdaki id'lerin basit bir uygulamasıdır + $\sigma$-Ölçümün subadditivitesi.

(İii) için: ayarla $X_n=\bigcup_{k\ge n} A_k$ ve $Y_n=\bigcup_{k\ge n} B_k$. Sonra$X_n \triangle Y_n$ boş bir kümedir: boş kümelerin bir birleşimi tarafından kapsanır: $X_n \triangle Y_n\subset \bigcup_{k\ge n} A_k \triangle B_k$, ilk kimlikle.

Şimdi ilişki $\bigcap_n X_n \triangle \bigcap_n Y_n\subset \bigcup_n X_n \triangle Y_n$ benzer şekilde ima eder $\mu\left( \overline{\lim}A_n \triangle \overline{\lim}B_n\right)=0$.

$\underline{\lim}$ durum neredeyse aynı.