$N(\frac{1}{2},2)=3$ Hilbert Uzayındaki vektörler için

Aug 19 2020

Karşılaşıldı Bu soru , bir Hilbert uzayına gömülebilecek neredeyse ortogonal vektörlerin maksimum sayısı ile ilgili. Bunu belirtiyorlar$N(\frac{1}{2},2)=3$ve Bloch küresini kullanarak vektörlerin bu açık inşası bunu gösterir. Ancak, bununla ne kastettiklerini anlayamıyorum. Onların başka bir örneği$N(\frac{1}{\sqrt{2}},2)=6$bunlar sadece pauli operatörlerinin özvektörleri olduğu için bana mantıklı geliyor. Fakat aşağıdaki kriterleri karşılayan vektörlerin sayısının sadece 3 olduğu nasıl gösterilir?

$$\langle V_i|V_i\rangle = 1$$

$$|\langle V_i|V_j\rangle| \leq \epsilon, i \neq j$$

Yanıtlar

3 DaftWullie Aug 18 2020 at 22:53

İşte bunu düşünmenin çok görsel bir yolu (bunun kesin bir kanıt olduğuna dair hiçbir iddiada bulunmuyorum). İzin Vermek$$ |V_1\rangle=|0\rangle,|V_2\rangle=\frac12|0\rangle+\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle,|V_3\rangle=\frac12|0\rangle-\frac{\sqrt{3}}{2}|1\rangle. $$Bunların her birinin 1/2 üst üste binmesi var. Şimdi bunları Bloch küresine çizin. Büyük bir daire etrafında eşit aralıklarla yerleştirilmiş üç vektördür. Birini diğerine yaklaştıramazsınız çünkü bu onların örtüşmesini artıracaktır.

Şimdi, dördüncü bir vektör ekleyebilir miyim? Küreye eklediğim vektör ne olursa olsun, bir açı yapmalı$\pi/2$ veya mevcut vektörlerden biriyle daha az ve dolayısıyla örtüşme $1/\sqrt{2}$veya daha büyük. Yani, en azından bu üç vektör seçimi için dördüncü bir ekleyip değerini koruyamam$\epsilon$.

Bu düşünceyle resimle, muhtemelen aynı zamanda bu vektörler kendinizi ikna edebilir var bu şekilde seçilmelidir.$|V_1\rangle$keyfi, görüşü kürenin tepesinde olacak şekilde yönlendirebilirim. İçin$|V_2\rangle$ Keyfi bir rotasyon özgürlüğüm var $V_1\rangle$ekseni, bu yüzden ortogonal bileşeni gerçek ve pozitif olarak seçtim. Bu noktada benim seçimim$|V_3\rangle$ düzeltildi - doğru örtüşmeye sahip olabilecek tek bir olası seçenek vardı.

Görsel versiyon bunu sizin için yapmazsa, eminim birisi bunu matematiksel olarak resmileştirecektir ...