Nasıl $\min\limits_{0<n<N} \{n\pi\}$ ile ölçeklendirmek $N$ ( $\{\cdot\}$ kesirli kısmı gösterir)
İzin Vermek $x$ irrasyonel bir sayı olabilir (örneğin, belirli bir seçim için sorunun cevabından memnun olurum) $\pi$). Göre
İçin $x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$, set $\{nx-\lfloor nx\rfloor: n\in \mathbb{N}\}$ yoğun $[0,1)$,
set $\{nx\}$ yoğun $[0,1]$, nerede $\{\cdot\}$kesirli kısımdır. Böylece,$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\}$$ yakınsamak $0$ için $N\rightarrow\infty$. Bu serinin ölçeklendirilmesiyle ilgili bilinen herhangi bir şey var mı, örneğin$$\min\limits_{0<n<N} \{nx\} = \mathcal{O}\left(\frac{1}{\operatorname{ln}(N)}\right)$$
Yanıtlar
Genel olarak hakkında çok fazla şey söyleyemeyiz $$m(N) = m_x(N) := \min_{0 < n < N}\: \lbrace nx\rbrace$$ -den $m(N) \to 0$. Her irrasyonel için$x$ sonsuz sayıda var $N$ ile $m(N) < \frac{1}{N}$her işlev için $f \colon \mathbb{N} \to (0,+\infty)$ ile $f(N) \to 0$ (sayılamayacak kadar çok) irrasyonel bulabiliriz $x$ ile $$\limsup_{N \to +\infty} \frac{m_x(N)}{f(N)} = +\infty\,.$$ Bu anlamda, $m_x$ eğilimli olabilir $0$keyfi olarak yavaş. Ancak sezgisel olarak tipik davranış şudur:$m_x(N)$ eğiliminde değil $0$ çok daha yavaş $\frac{1}{N}$.
Anlamak $m$kullanabiliriz devam fraksiyonu arasında (özellikle basit bir fraksiyon genişleme devam) genişleme$x$.
Bildiğim kadarıyla, devam eden kesir genişlemesi hakkında pek bir şey bilmiyoruz. $\pi$ (ilk birkaç bin milyon terimi "biliyoruz", ancak bundan sonra ne olacağını bilmiyoruz), bunu (henüz) göz ardı edemeyiz $m_{\pi}(N)$ eğilimi $0$ çok çok yavaş. Ama olmamasını bekliyoruz.
Öte yandan, her biri için $x$ sürekli kesir genişlemesi sınırlı kısmi bölümleri (wikipedia makalesinde "katsayılar" veya "terimler" olarak adlandırılır), özellikle tüm ikinci dereceden irrasyonel ifadeler için (bunlar periyodik devam eden kesirlere sahiptir), $m_x(N) \asymp \frac{1}{N}$gibi şeyler $m_{\sqrt{2}}$oldukça iyi analiz edilebilir. Sürekli kesir genişlemesi$e$ sınırsız kısmi bölümlere sahip, ancak bilinen bir düzenli kalıbı var ve bizde $m_e(N) \in \mathcal{O}\bigl(\frac{\log N}{N}\bigr)$.
Devam eden kesirlere (basit) bir göz atalım. Endeksleme şununla başlar:$0$, $k^{\text{th}}$ irrasyonel olana yakınsak $x$ sürekli kesir genişlemesi ile $[a_0, a_1, a_2, \dotsc]$ ile gösterilecek $p_k/q_k$, $k^{\text{th}}$ tam bölüm $[a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, \dotsc]$ tarafından $\alpha_k$.
İlk önemli gözlem, yakınsakların dönüşümlü olarak daha küçük ve daha büyük olmasıdır. $x$, sahibiz $$x - \frac{p_k}{q_k} = (-1)^k\cdot \delta_k$$ ile $0 < \delta_k < 1$. (Çok daha iyi üst sınırlarımız var$\delta_k$ama burada sadece farkın işaretiyle ilgileniyorum.)
Daha önemli bir gerçek ise yakınsayanların en iyi rasyonel yaklaşımları $x$ çok güçlü bir anlamda:
İzin Vermek $k > 1$. Sonra tüm pozitif tamsayılar için$q < q_{k+1}$ ve tüm tam sayılar $p$ sahibiz $$\lvert qx - p\rvert \geqslant \lvert q_k x - p_k\rvert \tag{1}$$ eşitlikle ancak ve ancak $p = p_k$ ve $q = q_k$.
Pozitif sayıları tanımlıyoruz $\varepsilon_k$ tarafından $q_k x - p_k = (-1)^k\varepsilon_k$. Nereden$(1)$ onu takip eder $$m(q_{2k} + 1) = m(q_{2k+1}) = \varepsilon_{2k}$$ hepsi için $k \geqslant 1$. Yakınsayanlar için yineleme ile birlikte$\alpha_k = a_k + \frac{1}{\alpha_{k+1}}$ verim \begin{align} \varepsilon_k &= \lvert q_{k}x- p_{k}\rvert \\ &= \Biggl\lvert q_{k}\frac{\alpha_{k}p_{k-1} + p_{k-2}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} - p_{k}\Biggr\rvert \\ &= \frac{\bigl\lvert \alpha_{k}\bigl(p_{k-1}q_{k} - p_{k}q_{k-1}\bigr) + \bigl(p_{k-2}q_{k} - p_{k}q_{k-2}\bigr)\bigr\rvert}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{\alpha_{k} - a_{k}}{\alpha_{k}q_{k-1} + q_{k-2}} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}\bigl(q_{k} + \frac{q_{k-1}}{\alpha_{k+1}}\bigr)} \\ &= \frac{1}{\alpha_{k+1}q_{k} + q_{k-1}} \\ &= \frac{1}{a_{k+1}q_{k} + q_{k-1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &= \frac{1}{q_{k+1} + \frac{q_k}{\alpha_{k+2}}} \\ &< \frac{1}{q_{k+1}}\,. \end{align} Böylece sahibiz $$m_x(N) < \frac{1}{N}$$ en azından hepsi için $N$ öyle ki bir $k \geqslant 1$ ile $q_{2k} < N \leqslant q_{2k+1}$ve tabii ki bu türden sonsuz sayıda vardır (her biri için en az bir $k$).
Öte yandan, arasında $q_{2k+1}$ ve $q_{2k+2}$kötü şeyler olabilir. İlk önce her zaman sahip olduğumuzu not ediyoruz$$\frac{1}{2q_{k+1}} < \varepsilon_k < \frac{1}{q_{k+1}}$$ ve $a_{k+2}q_{k+1} < q_{k+2} = a_{k+2}q_{k+1} + q_k < (a_{k+2} + 1)q_{k+1}$ için $k \geqslant 1$. Ayrıca$1 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ sahibiz $$\varepsilon_{2k} > (q_{2k} + rq_{2k+1})x - (p_{2k} + rp_{2k+1}) = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} \geqslant \varepsilon_{2k+2}\,.$$ Paydaların $q_{2k} + rq_{2k+1}$ için yeni minimumlar vermek $\{n x\}$ (aslında henüz değil, diğerlerini de düşünmemiz gerekiyor $q$ arasında $q_{2k+1}$ ve $q_{2k+2}$ama böyle bir $q$ şeklinde $q_{2k} + rq_{2k+1} + s$ ile $0 \leqslant r \leqslant a_{2k+2}$ ve $0 \leqslant s < q_{2k+1}$ kullanabiliriz $(1)$ görmek için $\{q x\} > \varepsilon_{2k}$ ne zaman $s \neq 0$), ancak oldukça yavaş azalırlar.
Şimdi kısmi bölümü varsayalım $a_{2k+2}$ çok büyük ve seç $r \approx \frac{a_{2k+2}}{2}$. Bundan dolayı$n = q_{2k} + rq_{2k+1}$ sahibiz $$\{nx\} = \varepsilon_{2k} - r\varepsilon_{2k+1} = \varepsilon_{2k} - \frac{r}{a_{2k+2}}\bigl(\varepsilon_{2k} - \varepsilon_{2k+2}\bigr) \approx \frac{1}{2}\varepsilon_{2k} > \frac{1}{4q_{2k+1}}$$ ve $n > rq_{2k+1} > a_{2k+2}$ (dan beri $q_{2k+1} > 2$ için $k \geqslant 1$). Herhangi bir$f \in o(1)$ ve ilk kısım $[a_0, a_1, \dotsc, a_{2k+1}]$ sürekli bir kesir, her zaman seçebiliriz $a_{2k+2}$ o kadar büyük ki $$\frac{1}{4 q_{2k+1} f(a_{2k+2})} > e^{k^4}\,,$$ söyle.
Böylece $m_x$ eğilimli olabilir $0$ yavaşça devam eden kesri $x$ büyük çift dizine sahip kısmi bölümlere sahiptir (tek dizine alınmış kısmi bölümler, dikkate alırsanız resme girer $\max \:\{nx\}$ Veya eşdeğer olarak $\min \:(1 - \{nx\})$ yerine veya ek olarak $\min \: \{nx\}$).
Bununla birlikte, genellikle, kısmi bölümler yakınsayanların paydalarına kıyasla küçüktür ve eğer sahipsek $a_{k+1} \leqslant \varphi(q_k)$ herkes için (yeterince büyük) $k$o zaman bizde $$m_x(N) \in \mathcal{O}\biggl(\frac{\varphi(N)}{N}\biggr)\,.$$ İçin $x$ sınırlı kısmi bölümlerle alabiliriz $\varphi$ sabit bir fonksiyon olarak ve $e = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,\dotsc]$ sahibiz $a_n \ll n$ süre $q_n \gg c^n$ bazı $c > 1$nereden $a_{k+1} \leqslant K\cdot \log q_k$.
İçin $\pi = [3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\dotsc]$ kısmi bölümler $a_2 = 15$ ve $a_4 = 292$ endekse göre büyük, ancak paydalara göre çok büyük değil $q_1 = 7$ ve $q_3 = 113$. İlk arasında$20000$kısmi bölümler birkaç büyük sayı vardır , ancak karşılık gelen paydalara göre$q_k$yine de çok küçükler. Elbette bundan bir sonuç çıkaramayız, ancak şu ana kadar elimizdeki veriler şunu göstermiyor:$m_{\pi}$ eğilimi $0$ yavaşça.