Neden operasyonun gerçekleri $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ bir grup mu?
Yukarıdaki işlem, gerçek sayılar için bir gruptur, çünkü 0 özdeşlik elemanıdır ve herhangi bir gerçek sayının negatifi, önemsiz bir şekilde gözlemlenebileceği için bunun tersidir. İlişkilendirme daha az önemsizdir, ancak geçerlidir.
Aslında, herhangi bir tek sayı (5, 7 ...) yerine 3 koyarsak, işlem grubun özelliklerini karşılar. Ancak, herhangi bir çift sayı başarısız olur.
Herhangi bir geometrik / analitik / ... yorumu var mı? $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ ilişkiseldir ve sonuç olarak bir grubun yapısını gerçeklere verir?
Yanıtlar
İzin Vermek $G$ herhangi bir grup ol, $X$ herhangi bir set olabilir ve $f: X \rightarrow G$herhangi bir bijection olabilir. Daha sonra grup yapısını şuradan aktarabiliriz:$G$ -e $X$ ayarlayarak $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$. Yani, bijeksiyon kullanıyoruz$f$ unsurlarını tanımlamak için $G$ ve unsurları $X$ve bir grup yapısı koyun $X$bu kimliği kullanarak. Bunu, bunun bir grup yapısını tanımladığı bir alıştırma olarak bırakacağım.$X$.
Şimdi al $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ ve $f(x)=x^3$ davanızı kurtarmak için.
Eğer $f$ gerçeklerin herhangi bir tuhaf bijeksiyonu sonra operasyon
$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$
gerçekleri bir grup yapar ve $f$gerçeklerin toplamsal grubundan o gruba bir izomorfizm. Senin durumunda$f(x)=x^3$. İlişkisellik gerçeğinden kaynaklanır$f$ bir homomorfizmdir. $0$ nötr unsurdur ve $-x$ tersidir $x$. İşte gerçek şu ki$f$ garip kullanılır.
Bir İçin keyfi bir eşleşme$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, operasyon $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ bir grup yasasıdır $\mathbf R$. Tüm bunlar, her gerçek sayıyı yeniden adlandırırsanız$x$ gibi $f(x)$ o zaman orijinal grup yasasını dönüştürebilirsiniz $+$ grup kanununa $*$ Böylece $f$ bir izomorfizmdir $(\mathbf R, *)$ -e $(\mathbf R,+)$. Sezgi geometrik değil cebirseldir. Büyülü bir şey yok$n$tuhaf için inci kökler $n$ bir bijeksiyon olmaktan başka.
Hiperbolik tanjant işlevi $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ ek taşımanızı sağlayan bir bağlantıdır $\mathbf R$ bir grup kanununa $(-1,1)$özel görelilikte kullanılır (tek boyutlu harekette hızların eklenmesi). Bir ölçekleme faktörüne kadar bu eşlemenin tersi, fizikte “hız” olarak adlandırılır.
Kısa cevap: çünkü $\sqrt{x^2}\ne x$ için $x<0$.
Tercih ettiğim uzun cevap $\cdot$ -e $\bullet$:
Tatmin edici bir operasyon $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ gerçekleri kapatır, çünkü eğer $n$ alabilmemiz tuhaf $n$inci kök, & eğer $n$ biz bile sadece almaya mı çalışıyoruz $n$bir şeyin kökü $\ge0$. Dan beri$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$operasyon ortakları. (Gücünü iptal etmek$n$ o zamandan beri önemsiz $n$ eşittir $\cdot$ her zaman negatif olmayanı alacak şekilde tanımlanır $n$neyse. kök.) Yani en azından bir yarı grup oluşturuyoruz.
Dan beri $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$, garip için $n$ Ayrıca buna sahibiz $0$ bir kimlik olarak, ama hatta $n$ yapmıyoruz çünkü $x\cdot0=|x|$, bu yüzden bırakın bir grup, bir monoid bile değil . Son grup aksiyomlar, tuhaflar için çalışan terslerdir.$n$ belirttiğin gibi, ama hatta $n$ sahibiz $x\cdot y\ge|x|$, yani bizim tersimiz de yok.
İpucu :
İlişkisellik basitçe her ikisinin de $\;(x\bullet y)\bullet z$ ve $\;x\bullet( y \bullet z)$ eşittir $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$