Negatif olmayan bağımsız rastgele değişkenlerin toplamı için olasılık eşitsizliği

Question

Varsayalım $X_i$, $i \in \mathbb{N}$ bağımsız ikili rastgele değişkenlerdir $P(X_i = 1) = p_i = 1-P(X_i = 0)$ ve tanımla $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$. Bunu her biri için kanıtlamak istiyorum$x > 0$, sahibiz $$P(S_n \ge x) \leq \left(\frac{\mu e}{x}\right)^x $$

Bunu için yapabilirim $x \in (0,1]$ fonksiyonun $f(y) \equiv y^x, y \ge 0$ için içbükey $x$ bu aralıkta, dolayısıyla bizde $$P(S_n \ge x) \leq P(eS_n \ge x) \leq P(e^x S_n^x \ge x^x) \leq \frac{e^x E(S_n^x)}{x^x}\leq \frac{e^x E(S_n)^x}{x^x} = \left(\frac{\mu e}{x} \right)^x $$

Son eşitsizliği elde etmek için Jensen'in eşitsizliğini uyguladığımız yer. Bunu doğru yapmaya çalışırken kayboldum$x > 1$. Jensen'in uygulamasını tekrar uygulayamayız çünkü işlev$f(y)$ şimdi dışbükey $x \in (1, \infty)$bu yüzden tamamen farklı bir stratejiye ihtiyacımız var. Bunun doğru fikir olduğundan emin değilim, ancak olasılık için bir ifadeyi tam olarak olduğu gibi yazabiliriz.$$P(S_n \ge x) = \sum_{J \subseteq \{1, ... n\}, |J| \ge x} \prod_{i \in J} p_i \prod_{i \not \in J} (1-p_i) $$Yine de bundan verimli bir şey göremiyorum. Herhangi bir yardım çok takdir edilecektir!

Answer 1

Varsayalım $x > \mu$, Çünkü eğer $x \le \mu$sağ taraf şundan daha büyüktür: $1$.

Bernstein'ın eşitsizliğinin kanıtını takip ediyorum: https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein_inequalities_(probability_theory)

Herhangi $ \theta > 0$, sahibiz $$ P(S \ge x) = P(\exp(\theta(S-x)) \ge 1) \le E(\exp(\theta(S-x))) = e^{-\theta x} \prod_k E(\exp(\theta X_k)) .$$ Şimdi $$ E(\exp(\theta X_k)) = 1-p_k + p_k e^{\theta} \le \exp((e^{\theta} - 1) p_k ) .$$ Yani $$ P(S \ge x) \le \exp(-\theta x + (e^\theta -1) \mu ) \le \exp(-\theta x + e^\theta \mu ) .$$ Ayarlamak $\theta = \log (x/\mu)$.