Neredeyse Kesin Yakınsama ve Lacunary Dizileri

Question

Bir sekans örneği var mı $X_n$ rastgele değişkenler, böylece her lacunary dizisi için $n_k$ bunu tutuyor $X_{n_k}$ neredeyse kesin olarak birleşir $0$, fakat $X_n$ neredeyse kesin olarak yakınsamaz $0$?

Bir dizi $n_k$ var olduğunda lacunary $\lambda > 1$ Böylece $n_{k+1} > \lambda n_k$ hepsi için $k$.

Answer 1

Olasılık alanı $[0,1]$Lebesgue ölçümü ile.

İzin Vermek $$ X_{2^n + m} = \cases{I_{[m/n^2,(m+1)/n^2]} & if $0 \ le m <n ^ 2$ \\ 0 & otherwise.}$$ Açıkça $X_n$her yerde farklılaşıyor. Eğer$n_k$ lacunary ise sabit bir sayı var $M$ (ile ilgili $\log_2 \lambda$) öyle ki en fazla $M$ of $n_k$ herhangi birine yalan söylemek $[2^n, 2^{n+1})$ve bunların her birinin sıfırdan farklı olduğu küme en fazla ölçüye sahiptir $\frac 1{n^2}$. Borel-Cantelli Lemma'yı kullanarak şunu görüyoruz:$X_{n_k} \to 0$ gibi

Ayrıca yapabilirsiniz $X_n$bağımsız, ancak aynı dağıtımla. O zaman bunu gösterebilirsin$X_n$ ikinci Borel-Cantelli Lemma'yı kullanarak ayrılır.

Answer 2

Kabul edilen cevabın netleştirdiği gibi, Borel Cantelli lemması bunu çok daha kolay bir sekans bulma sorusuna eşdeğer kılar $p_k\ge 0$ bu toplanabilir değildir, ancak her lacunary alt dizisi toplanabilir.

Örneğin, alın $p_t$ azalan bir fonksiyon olmak $\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=\infty$, sevmek $p_t = 1/t$ için $t\in \mathbb{R}_{+}$. İzin Vermek$X_n$ bağımsız Bernoulli dizisi olmak $(p_n)$rastgele değişkenler. Sonra$\sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(X_k> 0) = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k} = \infty$yani neredeyse kesin olarak bu sıra $1$ sonsuz sıklıkta (benzer şekilde, $0$sonsuz sıklıkla da). Bu nedenle olasılıkla$1$, birleşmez. Öte yandan, herhangi bir lacunary dizisi için$n_k$biraz olacak $\lambda > 1$ Böylece $n_k > \lambda^k n_1$. Bu nedenle,

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(X_{n_{k}} > 0) = \sum_{k=1}^{\infty}p_{n_{k}}\le \sum_{k=1}^{\infty}p_{\lambda^{k}n_{1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_{1}\lambda^{k}} < \infty $$ ve bu yüzden olasılık $X_{n_{k}} > 0$ sonsuz sıklıkla $0$ Borel Cantelli tarafından ve böylece sıra $0$ neredeyse kesin.