Normlu bir vektör uzayını göstermek, kapalı bir altuzayın ve tek boyutlu bir altuzayın doğrudan toplamıdır.

Question

Aşağıda, Lang'in Gerçek ve Fonksiyonel Analizinde IV. Banach uzaylarından alıştırma 7 yer almaktadır:

İzin Vermek $F$ normlu vektör uzayının kapalı bir alt uzayı olmak $E$ve izin ver $v\in E, v\notin F$. Olduğunu göstermektedir$F+ \Bbb{R}v$kapalı. Eğer$E=F+ \Bbb{R}v$, olduğunu göstermektedir $E$ doğrudan toplamı $F$ ve $\Bbb Rv$ (harita anlamında $\phi(f,rv)= f+rv$ bir üst lineer izomorfizmdir $F\times \Bbb Rv$ -e $E$yani bir homeomorfizm ve izomorfizm).

Kanıtlayabilirim $F+ \Bbb{R}v$ bölüm boşluğuna bakılarak kapatılır $E/F$. Görüntü olarak$F+ \Bbb{R}v$ bölüm haritasının altında $\rho$ homeomorfiktir $\Bbb R$otomatik olarak kapatılır $E/F$, ters görüntüsü kapalı olan $E$ sürekliliği ile $\rho$. Fakat$\rho^{-1}(\rho(F+ \Bbb{R}v))=F+ \Bbb{R}v$böylece yakınlığını kanıtlıyor $F+ \Bbb{R}v$. Ama ikinci ifadeyi göstermekte sıkışıp kaldım. Bunu göstermek yeterli$\phi$ açık bir haritadır ve $U_1+U_2$ eğer açıksa $U_1$ ve $U_2$ açık alt kümeleridir $F$ ve $\Bbb Rv$, sırasıyla. Lang, bunun daha genel bir sonuç olan açık haritalama teoreminin kolay bir sonucu olduğundan bahseder. Ancak, bu,$E$? Bölüm uzayı tekniğini kullanmaya çalışıyorum, ancak bu burada şu şekilde geçerli görünmüyor:$U_1+U_2$doyurulmasına gerek yoktur. Nasıl ilerlemeliyim? Şimdiden teşekkürler.

Answer 1

İzin Vermek $\phi:F\times\mathbb{R}v\to E$ tarafından tanımlanmak $\phi(f,rv):=f+rv$.

Toplama ve skaler çarpmanın bileşimi olduğu için süreklidir. Açıkça doğrusaldır. Hipotez üzerine kurulu ve o zamandan beri bire bir$v\notin F$: $$f_1+r_1v=f_2+r_2v\implies f_1-f_2=(r_2-r_1)v$$

Bu nedenle $\phi$ ters çevrilebilir ve gösterilecek olan $f+rv\mapsto(f,rv)$ süreklidir.

Hahn-Banach teoremi tarafından, $F$ kapalı, sürekli bir işlevsellik var $\psi$ birim normunun $\psi F=0$ fakat $\psi(v)=t\ne0$. İzin Vermek$\pi(f+rv):=\psi(f+rv)v/t=rv$. Sonra$\pi$ görüntülü sürekli bir projeksiyondur $\mathbb{R}v$ ve çekirdek $F$, yani \begin{align*}\|rv\|&=\|\pi(f+rv)\|\le c\|f+rv\|\qquad(c=\|\psi\|\|v\|/t)\\ \|f\|&\le\|f+rv\|+\|rv\|\le(1+c)\|f+rv\|\end{align*} Bunu takip eder $E=F\oplus\mathbb{R}v$.