Numaralar $1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$ yazılmış ve herhangi ikisi $x,y$ alınır ve biz değiştiririz $x,y$ sadece $x+y+xy$

Question

Bu gerçekten güzel bir soru! (Herkes matematiği sevdiren bir soruyla karşılaştı, bu benim :)

Bir dizi sayı yazıyoruz $$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$

Şimdi herhangi iki sayıyı seçebiliriz $x$ ve $y$ ve bu iki sayıyı tek bir sayı ile değiştiriyoruz $x+y+xy$

Bu işlem sadece bir sayı kalana kadar tekrarlanır, son numarayı bulun.

Bu sadece beni şaşırttı! Nasıl ilerleyeceğimi cidden bilmiyorum. Nereden başladığımıza rağmen aynı sayıya ulaşmamız ilginç değil mi? Nasıl çözüleceğine dair tüm ipuçları açığız

Answer 1

Bu değişmez bir sorudur: bir fonksiyon hayal edin $f(x_1,...,x_m)$ (nerede $m$ belirli sayıda argümandır ve $x_i$ hepsi gerçek sayılardır) aşağıdaki özelliğe sahiptir: $f(x_1,...,x_m)$ bunlardan ikisini aldığınızda değişmez $x_i,x_j$ ve bunları sadece ile değiştirin $x_i+x_j+x_ix_j$.

O zaman ne olur? Eğer sadece bir numara varsa$N$ tüm bunlardan sonra tahtada kaldı, sonra $f(x_1,...,x_m) = f(N)$, yani $N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$ şartıyla $f(x_1,...,x_m)$ tam olarak bir ön görüntüsüne sahiptir.

Bu işlev için bir ipucu $f$ gelen $(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$, şunun gibi bir şey: ekle $1$ sahip olduğunuz tüm sayılara ve bu sonuçları bir araya getirmeye ne dersiniz?

Açıktır ki böyle bir işlev iş görür! Bu durumda eklemeliyiz$1$sayıların her birine ekleyin ve hepsini çarpın. Bu çarpmak gibi$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$, bu sadece $2011$.

Şimdi, tahtadaki son numara ne olursa olsun, bir artı bu $2011$, İşte bu $2010$.

Answer 2

Operasyon $x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$ gerçek sayılarda ilişkiseldir, bu nedenle sonuç adımların sırasına bağlı değildir ve şuna eşittir: $$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$

Answer 3

Seçtiğinizi varsayalım $\frac1m$ ve $\frac1n$ ilk sırayla bunları değiştirin $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$

(Bunu not et $x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)

Bir sonraki sırada, iki sayı seçebilirsin $\frac1a$ ve $\frac1b$ve değiştirilen numara aynen yukarıdaki gibi görünecektir. $a,b$ değiştirme $m,n$. Ancak, önceki adımda elde edilen yeni sayıyı seçerseniz, yani$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$ ve orijinal numaralardan biri $\frac1a$, sonra onları şununla değiştirirsiniz: $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$.

Herhangi bir adımda değiştirilen sayının nasıl görüneceğini tümevarımla göstermek için ara adımları doldurun $\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$, böylece son cevap $$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$.