Olduğunu göstermektedir $\angle BOC=\angle AOD$.

Question

İzin Vermek $E$ ve $F$ dışbükey dörtgenin zıt kenarlarının kesişimleri olabilir $ABCD$. İki köşegen buluşuyor$P$. İzin Vermek$O$ dikinin ayağı olmak $P$ -e $EF$. Olduğunu göstermektedir$\angle BOC=\angle AOD$.

İşte şema:

Tanımladım $X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $ .

Şimdi, bilinen bir lemma tarafından, $(Y,X;P,E)=-1$ ve apollonius lemma ile $PO$ ikiye bölmek $\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $.

Benzer şekilde, bunu biliyoruz $(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$ ikiye bölmek $\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$ .

Ama bu açı eşitlikleri beni hiçbir yere götürmez, birisi bazı ipuçları verebilir mi? Şimdiden teşekkürler !

Answer 1

Lütfen sorunu kısaca yeniden ifade edeyim

Bir üçgen $\triangle ABC$ ve üç cevyalı $AD, BE, CF$ hangi aynı fikirde $P$verilmiştir. Tanımlamak$O:=EF\cap AD$ ve izin ver $H$ ortogonal izdüşümü olmak $O$ üstüne $BC$. Kanıtla$\angle EHA=\angle KHF$.

İzin Vermek $L:=AH\cap EF$ ve $K:=HP\cap EF$. Önce bunu kanıtlayacağız$\angle LHO=\angle OHK$ve sonra bu $\angle EHO=\angle OHF$. Sonucun bu gözlemlerden kaynaklandığını gözlemleyin.

İlk kısım için, iyi bilindiği gibi - dikkat edin - $$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$ Dan beri $(J,O; K, L)$ harmonik ve $\angle OHJ=90^\circ$, biri aslında, $\angle LHO=\angle OHK$. Diğer kısım da benzer şekilde kanıtlanabilir, çünkü bizde zaten$(J,O;F,E)=-1$.