Olduğunu göstermektedir $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$

Question

Olduğunu göstermektedir $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$, nerede $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ modulo tamsayı grubudur $15$ çarpma altında.

Bu, Birinci İzomorfizm Teoremini içeren bir sorudur, ancak onu doğrudan bir çarpımla nasıl kullanacağımı bilmiyorum. Grupların döngüsel olup olmadığını kontrol ettim ve ayrıca sadece işlevleri bulmaya çalıştım$f:\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z\to(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ama bu beni hiçbir yere götürmedi. Mümkünse bir ipucu yardımcı olabilir.

Answer 1

Her zaman sahibiz $$ (\Bbb Z/pq\Bbb Z)^{\times}\cong (\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\times (\Bbb Z/q\Bbb Z)^{\times}, $$ asallar için $p$ ve $q$ CRT (Çin Kalan Teoremi) tarafından.

Ayrıca bizde $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\cong \Bbb Z/(p-1)\Bbb Z$.

Referanslar:

$\mathbb Z_{mn}$ izomorfik $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ her ne zaman $m$ ve $n$ eş asal

Benim kanıtım mı $U_{pq}$ döngüsel değildir eğer $p$ ve $q$ farklı tek asal sayılar doğru mu?