Olduğunu göstermektedir $x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ sınırlı, monoton ve sınırını bul

Aug 17 2020

Kanıtla $x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$sınırlı ve monotondur. Sonra sınırını bulun.

Sınırlılık girişimim:

(Tümevarım kullanarak) Elimizdeki temel durum için $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$. Sıranın sınırlı olduğunu varsayın$n = k$. Sonra,\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}

Terim tarafından atıldım $x_{n + 2}$ yinelemeli formülde ve yukarıdaki adımları elde etmeden cebirin elde edeceğini göremiyorum $x_{n + 2}$ üst / alt sınır ifadesinde.

Teşekkür ederim.

Güncelleme:

Bunu kanıtlamaya ekledim:

Sahibiz $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$ ve $0 \leq x_2 = 0 \leq 2$. Sıranın sınırlı olduğunu varsayın$k+1$,

\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}

Bu nedenle, matematiksel tümevarım ilkesine göre dizi sınırlandırılmıştır.

Bu geçerli mi?

Yanıtlar

2 Gary Aug 17 2020 at 01:17

Bunu gözlemleyin $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = \frac{4}{3}$. Tümevarımla kanıtlayabiliriz$x_n <2$ hepsi için $n$. Eşitsizliğin doğru olduğunu varsayalım$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$. Sonra$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$Şimdi dizinin monoton bir şekilde arttığını gösteriyoruz. Farz et ki$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ bazıları için geçerli $n\geq 2$. Sonra$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ Böylece $x_n$yukarıdan sınırlıdır ve artmaktadır, dolayısıyla yakınsaktır. Sınırı$x$ tatmin etmeli $$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$ yani sahip olmalıyız $x=2$.

YvesDaoust Aug 17 2020 at 01:34

Hayır, argümanınız geçerli değil. Sen göster

$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$

Eğer indüksiyon uygularsanız, bu yol açar

$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ sınırlandırılmamış.


Ama kullanabilirsin

$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$

PredatorCorp Aug 17 2020 at 01:41

Sınırlılık için Güçlü Tümevarım kullanıyoruz, dizinin pozitif olması önemsizdir. Bunu herkes için göstermek istiyoruz$n \in \mathbb{N}$ sahibiz $x_{n} < 2$

  1. K = 1 için elimizde: $x_{1} = 0 < 2$
  2. İzin Vermek $n \in \mathbb{N}$ ve varsayalım ki herkes için $k \leq n$ sahibiz: $x_{k} < 2$
  3. Sahibiz: $x_{n-1} < 2$ ve $x_{n} < 2$
    Sonra: $\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
    Dolayısıyla: $x_{n+1} < 2$

Monotonluk için, bunu herkes için kanıtlamak için tekrar tümevarımı kullanalım $n \in \mathbb{N}$, $x_{n+1} \geq x_{n}$

  1. N = 1 için, açıkça $x_{2} = 0 \geq x_{1}$ dan beri $x_{1} = 0$
  2. İzin Vermek $n \geq 2$ ve varsayalım ki herkes için $k \leq n$ sahibiz: $x_{k+1} \geq x_{k}$
    Sahibiz: $x_{n} \geq x_{n-1}$ ve $x_{n+1} \geq x_{n}$
    Dolayısıyla: $\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
    Böylece: $x_{n+2} \geq x_{n+1}$

Sekansın arttığı ve dolayısıyla monoton olduğu sonucuna varıyoruz, Ve sınırlı olduğu için sekans yakınsıyor. İzin Vermek$L$ dizinin sınırı olmak, o zaman $L$ denklemin çözümü $x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$bunu veren $L = 2$