Olumlu verildi $x,y$ öyle ki $x > y$ ve $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $minimum bul $(x+y)$

Question

Bana pozitif sayılar veriliyor $x, y$ öyle ki $x > y$ ve $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $. Minimum değerini bulmam gerekiyor$(x+y)$. İşte benim denemem. Negatif olmayan sayılar için AM-GM eşitsizliğini kullanarak,

$$ \frac{(x+y)}{2} \geqslant \sqrt{x} \sqrt{y} $$

$$ \sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) \geqslant 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \\ \therefore (x-y) \geqslant 2 $$

Böylece bu sonuca varabildim. Ama burada sıkışıp kaldım. Herhangi bir yardım ?

Teşekkürler

Answer 1

AM-GM tarafından $$(x+y)^2=xy(x-y)^2=\frac{1}{4}\cdot4xy(x-y)^2\leq\frac{1}{4}\left(\frac{4xy+(x-y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{16},$$ hangi verir $$x+y\geq4.$$ Eşitlik, $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$ ve $4xy=(x-y)^2,$ hangi verir $$(x,y)=(2+\sqrt2,2-\sqrt2),$$ minimum bir değere sahip olduğumuzu söylüyor.

Answer 2

koymak $x=r^2{cos}^2a$ ve $y=r^2{sin}^2a$ ayrıca izin ver $a$ ait olmak $[0,\frac{\pi}{2}]$

bu nedenle maksimum değerini bulmalıyız $r^2$

Verilen denklemdeki değerleri takmak ve sahip olduğumuz temel trigonometri formüllerini kullanarak basitleştirmek $r^4(cosa)(sina)(cos2a)=r^2$ veya

$ r^2=\frac{4}{sin(4a)} \ge 4$

Answer 3

İpucu: koymak $x=\alpha \cosh^2(x)$ ve $y=\alpha\sinh^2(x)$ durum şu hale gelir:

$$\alpha=\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}$$

İfade şöyledir:

$$x+y=\Big(\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}\Big)\frac{1+\tanh^2(x)}{1-\tanh^2(x)}$$

Çözerek bulduk $x+y\geq 4$.

Answer 4

İpucu.

Yapımı

$$ \cases{ u = x+y\\ v = x-y } $$

sahibiz

$$ \sqrt{u^2-v^2}=2\frac uv $$

yani

$$ u^2 = \frac{v^4}{v^2-4} $$

vb.

Answer 5

Verilen $\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y$

İzin Vermek $yx=c$ , nerede $c>0$.

$$\sqrt{c}\left(x^{2}-c\right)=x^{2}+c$$ $$x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[1]$$

Let a function $$F(x,c)=x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c$$Tanımlanmış olmak. Sonra$$\frac{\partial F(x,c)}{\partial c}=0$$ sabit olarak $x$ bize verir $c \approx 2.618 \implies x \approx 3.33 $ (kullanarak $[1]$). Yani,$$x+\frac{c}{x}\geqslant 4$$ $$min(x+y)=4$$

ne zaman $x=2+\sqrt{2} \text{ and } y=2-\sqrt2$ Belirtildiği gibi.