Özyinelemeli olarak numaralandırılabilir kümeler, $\mathbb{N}$? Varsa, hangi ek doygunluk koşullarını karşılar?
Özyinelemeli olarak numaralandırılabilir kümeler, alt kümelerin bir koleksiyonudur. $\mathbb{N}$, tanımı iyi bilinen ve burada Wikipedia'da bulunabilir . Dün, burada "Genelleştirilmiş Topolojik Uzaylar" tanımına rastladım (tanım 2.2.1) (bundan böyle GTS olarak anılacaktır). Tanım kapsamlıdır ve okuyucudan bağlantıyı kontrol etmesini istiyorum, ancak soru metni uğruna; üçlü$(X, Op_X, Cov_X)$, bir setle $X$, açık setlerden oluşan bir koleksiyon $Op_X\in 2^X$ve kabul edilebilir kaplamalar $Cov_X\in 2^{2^X}$ (bu sonuncusu GTS'yi normal topolojiden ayırır; sendikalar keyfi değil, bunun yerine $Cov_X$) üçlü bazı koşulları, A1 ila A8'i karşılarsa bir GTS oluşturur.
Daha sonra üçlü olup olmadığını kontrol edebiliriz. $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$ böyle bir alan oluşturur (nerede $RE$ özyinelemeli olarak numaralandırılabilir kümelerin koleksiyonudur ve $Cov_{RE}$ koleksiyon koleksiyonudur $C$ nın-nin $RE$ öyle unsurlar $C$kendisi özyinelemeli olarak numaralandırılabilir [1]). Öyle olmadığı ortaya çıktı: A7 ve A8 koşulları (doygunluk [2] ve düzenlilik aksiyomları) bu üçlü için başarısız.
Buradaki bir sonraki adım, söz konusu başarısız koşulları basitçe görmezden gelirsek veya başka bir deyişle GTS'yi daha da genelleştirmek için ne olacağını düşünmektir. GTS'nin tanımını sunan aynı metin, söz konusu tanımın Grothendieck topolojileriyle ilgili olduğunu açıklar, ancak burada bir engelle karşılaşıyoruz; GTS'nin tanımı düz küme-teorik bir dil ile açıklanırken, Grothendieck topolojisi, anlayabildiğim kadarıyla, dili hala anlamaktan uzak olduğum Kategori Teorisine köklü bir kavramdır. Yine de, bir gezinebilirsiniz ncatlab ve Site, tanımını ulaşmak burada bir Kapsamına sahip bir kategori birlikte, tanımlanmış bir şeydir, burada . Anladığım kadarıyla kapsam bu bağlamdaki en genel tanımdır ve Grothendieck (ön) topolojileri bir kapsama ek koşullar koyarak elde edilir (GTS'nin tüm bunlara tam olarak nereye uyduğundan emin değilim, ancak sitelerin gerçekten GTS'nin bir genellemesi).
Burada sorduğum asıl soru birden çok parçaya ayrılıyor:
- Bir sitenin ne olduğu konusunda haklı mıyım? Yani, sitenin tanımını (ve tabii ki kapsamı da) "kategorilere ayırırsak", daha az koşul dışında GTS'nin tanımı gibi bir şeyle mi sonuçlanırız?
- Eğer öyleyse, üçlü yapar $(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$site oluşturmak mı? Yani$Cov_{RE}$ gerçekten bir kapsama $\mathbb{N}$? Örneğin, "geri çekilme altında kararlı" mı (bu ne anlama geliyorsa!)?
- Bu da doğruysa, hangi ek "doygunluk koşulları" ( buraya bakın )$Cov_{RE}$tatmin etmek? Bunu hayal ediyorum, uygun bir Grothendieck topolojisi olması için yeterli değil, ama belki bir pretopoloji için yeterli mi?
[1] - "$C$ özyinelemeli olarak numaralandırılabilir "(beklenir $C\in RE$ sadece bu cümleden, ama aslında $C\in 2^{RE}$bu özel durumda); bundan rahatsız olanlar için eşdeğer bir tanımlama$Cov_{RE}$Şöyleki. İlk önce düzeltin$\phi : \mathbb{N} \rightarrow RE$, RE'nin kendisinin hesaplanabilir bir listesi. Sonra$Cov_{RE}$ dır-dir $\{C \in 2^{RE} \mid \exists S \in RE , \forall s \in RE, s \in C \leftrightarrow \exists n\in S, s = \phi(n) \}$yani bir koleksiyon $C$ RE öğelerinin oranı $Cov_{RE}$ eğer varsa $S\in RE$ öyle ki biri haritalanabilir $\phi$ bitmiş $S$ ve elde et $C$ sonuç olarak.
[2] - Buradaki "doygunluk aksiyomunun" GTS için özel bir aksiyom olduğuna dikkat edin, sorudaki kategori teorisi ile ilgili tanımların kendi, çoklu, doygunluk koşulları vardır.
Yanıtlar
Keyfi, kısmen sıralı bir kümeyle uğraştığımızı varsayalım $(P, \leq)$. Topolojik uzayların özel durumunda,$P$ alt kümelerinden oluşan bir koleksiyon $X$, temel alan. Düşünebiliriz$P$ aşağıdaki gibi kanonik bir kategori olarak: nesneler kümesi $P$, her birinin arasında en fazla bir ok var $x, y \in P$ve arasında bir ok var $x$ ve $y$ iff $x \leq y$.
Nesne üzerindeki elek $x$ koleksiyon olarak tanımlanabilir $S \subseteq \{(f, z) | f : z \to x\}$ her biri için olan özelliği tatmin eden $(f, z) \in S$ ve hepsi $g : w \to z$, sahibiz $(f \circ g, w) \in S$.
Kısmen sıralı bir kümeden bahsederken, ilk bileşen $(f, z)$ nerede $f : z \to x$ herhangi bir bilgi eklemez (bunun dışında $z \leq x$) çünkü en fazla bir tane var $f : z \to x$. Böylece, eşit olarak bir elek düşünebiliriz$S$ açık $x$ koleksiyon olmak $S \subseteq \{z \in P : z \leq x\}$ hepsi için $z \in S$, hepsi için $w \leq z$, $w \in S$. Bu, PO-elek olarak adlandıracağım şey.
Bir elek verildi $S$ açık $y$ ve bir ok $f : x \to y$, tanımlayabiliriz $f^*(S) = \{(g, z)| g : z \to x$ ve $f \circ g \in S\}$, bir elek $y$.
Buna uygun olarak, bir PO-elek verildiğinde $S$ açık $y$ ve bazı $x \leq y$, tanımlayabiliriz $S_x = \{z : z \leq x$ ve $z \in S\}$, bir elek $x$.
Bir kategori üzerine bir Grothendieck Topolojisi $C$ her nesneden bir eşlemedir $x \in C$ bir aileye $F_x$ üzerinde elek sayısı $x$ bu birkaç aksiyomu karşılamaktadır.
Buna bağlı olarak, bir poset üzerinde bir PO-Grothendieck Topolojisi $P$ her elemandan bir eşleme olmalıdır $x \in P$ bir aileye $F_x$ Karşılık gelen aksiyomları karşılayan PO eleklerin sayısı.
Grothendieck Topolojisinin Aksiyomu 1: her biri için $x \in C$, sahibiz $\{(f, z) : f : z \to x\} \in F_x$.
PO-Grothendieck Topolojisinin İlgili Aksiyomu 1: her biri için $x \in P$, sahibiz $\{z : z \leq x\} \in F_x$.
Grothendieck Topolojisinin Aksiyomu 2: her biri için $f : x \to y$her elek için $S \in F_y$, sahibiz $f^*(S) \in F_x$.
PO-Grothendieck Topolojisinin Karşılık Gelen Aksiyomu 2: her biri için $x \leq y$ ve her PO-elek için $S \in F_y$, sahibiz $S_x \in F_x$.
Grothendieck Topolojisinin Aksiyomu 3: elimizde olduğunu varsayalım $S \in F_x$. Ve bir eleğimiz olduğunu varsayalım$P$ açık $x$ öyle ki herkes için $(f, z) \in S$, $f^*(P) \in F_z$. Sonra$P \in F_x$.
PO-Grothendieck Topolojisinin Karşılık Gelen Axiom 3'ü: $S \in F_x$. Ve bir PO-eleğimiz olduğunu varsayalım$P$ açık $x$ hepsi için $z \in S$, $P_z \in F_z$. Sonra$P \in F_x$.
Bu Genelleştirilmiş Topolojik Uzaylarla nasıl ilişkilidir? Böyle genelleştirilmiş bir boşluk verildiğini varsayalım. Kısmen sıralı set$P$ sırasına göre açık kümesidir $\subseteq$. Bir koleksiyon verildiğini varsayalım$C$açık kümeler. Tanımlamak$f(C) = \{U $ açık$: \exists V \in C (U \subseteq V)\}$. Bu türden her biri için$C$, $f(C)$bir PO-elektir. Sonra verildi$U$ açık, tanımlayabiliriz $F_U = \{f(C) : C \in cov_X$ ve $\bigcup\limits_{V \in C} V = U\}$.
Bunun bize bir PO-Grothendieck topolojisi verdiğini doğrulayalım.
Aksiyom 1: Bu, $\{U\} \in cov_X$ hepsi için $U$ - yani A3 aksiyomundan kaynaklanır.
Aksiyom 2: Bu, A5 aksiyomundan çıkar.
Aksiyom 3: Bu A6 aksiyomundan alınmıştır.
Son olarak, örneğinize dönüyoruz $\mathbb{N}$"açılır" özyinelemeli olarak numaralandırılabilir kümeler ve özyinelemeli olarak numaralandırılabilir kümelerin "örtme" özyinelemeli numaralandırmaları ile. Bu A3, A5 ve A6 aksiyomlarını karşıladığından, bir PO-Grothendieck topolojisi oluşturur.