Polinomların ve türevlerin belirli bir fonksiyonel kapsamdaki oranları

Dec 30 2020

İzin Vermek $p(x)$ derece polinomu olmak $n>2$köklerle $x_1,x_2,\dots,x_n$(çokluklar dahil). İzin Vermek$m$pozitif çift tamsayı olun. Aşağıdaki eşlemeyi tanımlayın$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

SORU. İçin$\deg p(x)=n>2$ ve $p'(x)$ türevi, ifade edebilir misin $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ bir fonksiyonu olarak $m$ ve $n$ tek başına?

Açıklama. Fedor'un soruları tarafından yönlendirilen, bir vitrin olarak şunu hesapladım (kanıtlamadım)$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

Yanıtlar

3 MaxAlekseyev Dec 31 2020 at 11:31

Burada bir işlev hesaplama sağlayan bir SageMath koduV(m)$V_m(p)$ temel simetrik işlevleri açısından $x_1,\dots,x_n$ (yani katsayıları $p$).

Örneğin, eğer $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$, sonra $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ ve benzeri.

Bu ifadelerden bir kanıt $m=2$anında takip eder. Ancak, daha büyüğü için$m$ oran $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ bir işlevi gibi görünmüyor $n$için sayısal olarak test ettiğim $m$ kadar $20$.

3 FedorPetrov Dec 30 2020 at 05:38

Bu doğruysa $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ ayrıca sadece şunlara bağlıdır $m$ ve $n=\deg p$ve böyle devam edene kadar $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$. Sahibiz$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ Yani bu doğru olsaydı, biz olurduk $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$. Bu zaten yanlış$n=m=4$: eğer tüm kökler $p$ 0'lar ve 1'ler, bizde $V_4=V_2$, fakat $V_2^2/V_4=V_2$ sabit değil.