Rasyonellere göre aksiyomlaştırma hacmi

Aug 17 2020

Alt kümelerinde negatif olmayan genişletilmiş gerçek değerli bir fonksiyon var mı? $\mathbb{Q}^3$ ayrık kümeler, öteleme değişmezi ve çıktılarda sonlu toplamsaldır $(\text{length} \times \text{width} \times \text{height})$kutular için? Lebesgue ölçüm teorisinin dikkate değer bir sonucudur ki, üzerinde sayılabilir şekilde toplamsal olan böyle bir fonksiyon yoktur.$\mathbb{Q}^3$ veya $\mathbb{R}^3$. Sonlu toplamsal küme fonksiyonları için de aynısının geçerli olup olmadığını merak ediyorum.$\mathbb{Q}^3$. Eğer öyleyse, sezgisel hacim kavramını resmileştirmenin önünde bazı temel engeller olduğunu öne sürüyor gibi görünüyor.

Yanıtlar

4 AlexRavsky Sep 10 2020 at 08:59

Sanırım her biri için doğal $n$ gerekli bir işlevi tanımlayabiliriz $\mu$ açık $\Bbb Q^n$aşağıdaki gibi. İzin Vermek$G=\Bbb Q^n/\Bbb Z^n$ bölüm grubu olun ve $q:\Bbb Q^n\to G$bölüm homomorfizmi olabilir. Grup$G$ Abelyen ve bu nedenle uygundur (örneğin [Ban] 'dan Sonuç 2.9'a bakın), yani $G$ vardiya-değişmez sonlu toplamsal bir ölçü kabul eder $\nu$, öyle ki $\nu(G)=1$. Her alt küme için$A$ nın-nin $\Bbb Q^n\cap [0,1)^n$ koymak $\mu(A)=\nu(q(A))$. Şimdi izin ver$A$ herhangi bir alt kümesi olmak $\Bbb Q^n$. Sonra$A=\bigcup \{A_{x}:x\in \Bbb Z^n\}$, nerede $A_x=(x+[0,1)^n)\cap A$ her biri için $x\in\Bbb Z^n$. Koymak$\mu(A)=\sum_{x\in\Bbb Z^n}\mu(A_x-x)$.

Sanırım eğer $A$ bir kutu sonra doğru değeri $\mu(A)$ aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Lemma. Her biri için$k=1,\dots,n$, her biri $y\in Q$, $\mu(A\cap H)=0$, nerede $H $ bir hiper düzlem $\{(x_1,\dots, x_n)\in\Bbb Q^n:x_k=y\}$.

Kanıt . Her biri için$x\in\Bbb Z^n$ ve her biri doğal $N$, grup $G$ içerir $N$ ayrık kopyalar $g_1+q((A\cap H)_x-x), g_2+q((A\cap H)_x-x),\dots, g_N+q((A\cap H)_x-x)$ bir setin $ q((A\cap H)_x-x)$ bazı unsurlar için $g_1,\dots,g_N\in G$. Dan beri$\mu$ vardiya ile değişmez ve sonlu toplamsaldır, $\mu q((A\cap H)_x-x)\le 1/N$.

Şimdi eğer $A$ her biri bir kutu $A_x$ bir kutudur ("sınırı" olmaksızın mümkündür), dolayısıyla doğru değeri $\mu(A)$ bir setin sonluluğunu takip etmelidir $X=\{ x\in\Bbb Z^n: A_x\ne\varnothing\} $, sonlu toplamsallık $\mu$ve doğru değerleri $\mu(A_x)$ her biri için $x\in X$. İkincisi, her ikisinin de sonlu toplamsallığını takip etmelidir$\mu$ ve $\nu$doğru değerleri $\mu(B)$ temel blokların $B$ şeklinde $B=\Bbb Q^n\cap \prod [r_i/s_i, (r_i+1)/s_i$her biri için nerede $i$, $0\le r_i<s_i$ herhangi bir tam sayıdır ve kümenin bir bölümüdür $A_x$ temel blokların birliğine (sınırlarına kadar).

Referanslar

[Yasakla] Taras Banakh, https://arxiv.org/abs/1312.5078.