Sıfır içermeyen ve 7 ile bölünebilen basamaklarının çarpımı olan dört basamaklı kaç tane sayı vardır?

Aug 15 2020

Matematik kitabımda bir soru gördüm, çok önemsiz görünüyor, diyor ki:

Sıfır içermeyen ve 7 ile bölünebilen basamaklarının çarpımı olan dört basamaklı kaç tane sayı vardır?

Düşündüm:

(sıfır içermeyen dört basamaklı sayıların tümü) eksi (7 ve 0 içermeyen dört basamaklı sayıların tümü)

sıfır içermeyen ve 7 ile bölünebilen dört hanesinin çarpımı olan dört basamaklı sayının tümünü bulmak için.

Sonra $(9^4)-(8^4)=2465$. Ancak cevap$4904$. Neyi kaçırıyorum?

Yanıtlar

2 Axel Aug 15 2020 at 17:54

Verdiğiniz ifadeyle ilgili olarak ilk cevabınız doğrudur:

İzin Vermek $(a,b,c,d) \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}^4$. Yani$A = 1000a+100b+10c+d $ dört basamaklı bir sayıdır.

Dahası, $a\cdot b \cdot c \cdot d $ ile bölünebilir $7$, ancak ve ancak asal çarpanlara ayırma en az bir kez içeriyorsa $7$ bu nedenle, ancak ve ancak en az biri $A$'nın basamağı eşittir $7$. Dolayısıyla cevap$9^4-8^4 = 2465$ Dediğin gibi.

Ancak , dört basamaklı sayıların sayısını arıyorsanız, basamaklarının çarpımı ile bölünebilir$7$ cevap $4904 = 8(10^3-8^3) + 10^3$. Şunları kontrol edebilirsiniz: dört basamaklı bir sayı için$A$ basamaklarının çarpımının şuna bölünebilir olması $7$içermelidir $0$ veya $7$.

İzin Vermek $A = 1000a+100b+10c+d$ nerede $0\leq a,b,c,d \leq 9$ tamsayıdır ve $a \neq0$.

Eğer $a=7$ o zaman mümkün olan tüm kombinasyonlara sahip olabilirsiniz $b,c$ ve $d$. Böylece size verir$10^3$ seçimler.

Eğer $a \neq 7$o zaman numarayı arıyorsunuz $n$ en azından sahip olma olasılıkları $b,c$ veya $d$ eşittir $0$ veya $7$. Dahası, tam olarak$8^3$ için olanaklar $b$, $c$ ve $d$ eşit olmamak $0$ ne de $7$. Bu nedenle$n = 10^3-8^3$. Sonunda sadece var$8$ için olanaklar $a$ dan farklı olmak $7$.

Bu nedenle aradığınız numara $8(10^3-8^3)+10^3 = 4904$.