Sigma cebiri ile sigma cebirini donatmanın standart bir yolu var mı?

Question

Varsayalım $(X, \mathcal X)$ölçülebilir bir alandır. Değer alan ölçülebilir fonksiyonlar hakkında bir şeyler söylemek istiyorum.$\mathcal X$ama bunu yapmak için ihtiyacım var $\mathcal X$ bir sigma cebiri ile donatılmış olmak.

Kanonik bir teçhizat yolu var mı $\mathcal X$ bir sigma cebiri ile $\mathcal F_\mathcal X$ böylece ölçülebilir işlevler hakkında konuşabiliriz. $(X, \mathcal X)$ -e $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?

Aklıma gelen bazı fikirler:

(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$. Ama bunun tamamlayıcılar altında kapalı olduğunu görmüyorum.

(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$. Ama bunun sayılabilir sendikalar altında kapandığını görmüyorum.

Answer 1

Bildiğim kadarıyla, böylesine ölçülebilir bir yapı inşa etmek için standart bir yaklaşım yok.

Markov karar süreçlerini (Bilgisayar Bilimi açısından bakıldığında) “non determinizm” ile genelleyen bazı çalışmalar için böyle bir şeye ihtiyacımız vardı. Referansı arXiv'de ( DOI ) kontrol edebilirsiniz .

Bizim için işi yapan tanım, bazılarının bir alt kümesi ilan etmekti. $\mathcal{X}$ eğer ölçülebilir $\sigma$-cebir $H(\mathcal{X})$ setler tarafından üretildi $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, nerede $\xi$ aralıklar $\mathcal{X}$. Bu, çoğunlukla bir topolojik uzayın kapalı alt kümelerinin ölçülebilir hiper uzayının inşasıyla motive edilir.

Aslında, bazı uygun alt kümelerle sınırlanıyor $\mathcal{X}$ sonuçtan beri daha mantıklı görünüyor $\sigma$-algebra çok büyük: Doğru hatırlıyorsam, bir kez $X$ sonsuzdur ve $\mathcal{X}$ noktaları ayırır, sonra $H(\mathcal{X})$ sayılabilir şekilde oluşturulamaz.