Sınırların kesin tanımının mantığı?

Question

Thomas'tan matematik okuyan bir üniversite birinci sınıf öğrencisiyim. Şu anda ispatlarda vb. Kullanmak için epsilon delta yöntemini kullanarak limitlerin kesin tanımını öğreniyorum.

Bir fonksiyonun limitini kanıtlarken önce limitin verildiğini ve ardından epsilon delta yönteminin kullanıldığını fark ettim. Ama bu, arabayı atın önüne koymak gibi değil.

Örneğin, x-> 1'de 5x-3 sınırını kanıtlamam gerektiğini varsayalım. Görünüşe göre, öngörülen sıra polinomlar için ikame kuralını kullanıyor, Limit olarak 2'yi al, sonra limitin gerçekten 2 olduğunu göstermek için epsilon delta yöntemini kullan. Bu kafamı karıştırıyor çünkü limit 'bilinmeyen' olmamalı Sınırı 2 olarak türetmek için önce ve bir kanıt kullanılmalıdır. Başlangıç ​​noktası olarak sınır 2'nin kullanılması gerektiğini ilk olarak nasıl bilebilirim? Mantıksal düzen bana geriye doğru görünüyor.

Answer 1

Öncelikle sınırın ne olması gerektiğine dair uygun bir aday / eğitimli tahmine ihtiyacınız var. Daha sonra, ancak bundan sonra, ilk tahmininizin gerçekten de geçerli olduğunu Kanıtlamak için kesin tanımı kullanabilirsiniz. Ayrıca, sınır tanımının nasıl verildiğine bakarak yapabileceğinizin en iyisinin bu olduğunu görebilirsiniz:

Tanım.

İzin Vermek $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ bir işlev olmak, $a\in\Bbb{R}$. Diyoruz$f$ sonlu bir limiti var $a$ varsa $l\in \Bbb{R}$ öyle ki her biri için $\epsilon>0$var $\delta>0$ öyle ki herkes için $x\in\Bbb{R}$, Eğer $0<|x-a|<\delta$ sonra $|f(x)-l|< \epsilon$.

(Bu durumda bunu kanıtlayabiliriz $l$ benzersizdir ve biz bunu $\lim_{x\to a}f(x)$)

Tanımın "var" ile nasıl başladığına dikkat edin $l\in \Bbb{R} \dots$"Sadece ifade ediliş biçiminden, bu, daha kontrol edilmeden önce bile $\epsilon,\delta$ kriter, limit için bir aday değerine sahip olmanız gerekir $l$. Tanım hiçbir yerde sana ne olduğunu söylemiyor$l$ ya da bunu nasıl tahmin edeceğinizi (bu tür "tahmin çalışması", daha fazla öğrenirken yol boyunca aldığınız bir şeydir).

Örneğin, iki işleviniz varsa $f$ ve $g$, ile $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l_1$ ve $\lim\limits_{x\to a}g(x) = l_2$, o zaman tüm yaptığın sınırların tanımına bakmaksa, bunu söyleyemezsin $f+g$ ayrıca bir limiti vardır ve bu limit eşittir $l_1+l_2$. Tek doğal tahmin, eğer$f+g$ bir sınırı vardı, o zaman daha iyi $l_1+l_2$.

Ardından, bu tahmine sahip olduktan sonra, bunu kesin olarak $\epsilon,\delta$ tanım (kanıtın özü üçgen eşitsizliğidir).