Sonlu sayıda asal sayıdan oluşan pozitif tam sayılardan oluşan artan bir dizinin ardışık terimleri arasındaki fark

Aug 16 2020

Farz et ki $\{x_n\}$ elemanları sonlu sayıda asal sayıdan oluşan pozitif tamsayılar olan artan bir dizidir $p_1, \dots, p_s$. Aşağıdaki sınırı doğrulamak istiyorum$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ Ardışık terimler arasındaki fark için alt sınır veren bir sonuç okudum. $\{x_n\}$literatürde. Bu sonuç, ardışık terimler arasındaki farkın farklılaştığını ima etmektedir. Ancak, yukarıdaki sınırın sonsuz olduğunu temel olarak gösterebilir miyim?

Yanıtlar

2 TonyK Aug 16 2020 at 18:57

Felipe Voloch'un mathoverflow.net adresindeki bu cevabı konuyla ilgilidir:

Evet, bu türden ax + by = c denklemi doğrudur, burada a, b, c sıfırdan farklıdır ve sabittir ve x, y'nin yalnızca sonlu bir kümede asal çarpanlara sahip olmasına izin verilir, yalnızca sonlu sayıda çözüme sahiptir. Bu, Siegel teoreminin eğriler üzerindeki integral noktalarına ilişkin özel bir durumudur.

Seç $a=1$ ve $b=-1$, Böylece $x-y=c$ herhangi bir veri için yalnızca sonlu sayıda çözüme sahiptir $c$. Bu nedenle, yalnızca sonlu sayıda çift vardır$x,y$ ile $|x-y|<M$ verilen için $M$.

Maalesef Siegel'in teoremi hiçbir şekilde basit değildir. Temel bir kanıt olmadığından şüpheleniyorum.