Sonsuz uzunlukta bir silindirin ortalama eğriliği nedir?

Question

Biri sonsuz uzunlukta yarıçaplı bir silindirin ortalama eğriliğini nasıl hesaplayabileceğimi anlamama yardım edebilir mi? $R$? Ortalama eğriliğin tanımını şu şekilde biliyorum

$H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$

nerede $\kappa_i$ ... $i$inci ana eğrilik. Silindir sonsuz uzunlukta olduğu için sanırım$\kappa_2 = 0$(eksen boyunca). Birisi bunu doğrulayabilir mi?

Daha sonra yarıçaplı sonsuz uzunlukta bir silindirin ortalama eğriliği $R$ basit olurdu

$H = \frac{1}{2R}$

Yardımın için teşekkürler!

Answer 1

Sonucunuz doğru.

Silindirik yüzey üzerinde bir nokta seçin. Kendinizi bir ana yönün silindirin eksenine dik olduğuna ikna etmelisiniz (ancak yüzey noktanızdan başlayarak). Bu doğrultuda yüzey yarıçaplı bir daireye benziyor.$R$, bu nedenle bu yön için temel eğrilik $\kappa_1=\frac1R$. Diğer ana yön, silindir eksenine paraleldir ve bu yön boyunca yüzeyler (noktanızın yakınında) düz bir çizgi gibi görünür, bu nedenle$\kappa_2=0$. Yani formülden$H=\frac12 (\kappa_1+\kappa_2)$ bahsettiğiniz ortalama eğriliği elde edersiniz.

TonyK'nin dediği gibi, bu seçtiğiniz herhangi bir nokta için aynıdır. Öyleyse eğer dikkate alırsan$H$ bir fonksiyon olarak, yüzeydeki her noktayı gerçek bir sayıya eşleme, sonra $H$ silindirik yüzey için sabittir.

Gördüğümüz gibi, ortalama eğrilik yerel bir özelliktir, dolayısıyla silindirin sonsuz uzunlukta olup olmaması önemli değildir; düşündüğünüz noktanın etrafında, yüzeyin bir silindir olduğu bir mahalle olduğu sürece, o noktadaki ortalama eğrilik$\frac1{2R}$.